[b][color=#1e84cc][size=150][u]Desarrollo de Taylor para funciones de varias variables.[/u][/size][/color][/b][br][br]El siguiente es el Polinomio de Taylor a orden [math]k[/math] para funciones de dos variables [math]C^{k+1}[/math], y en el punto [math](x_{0},y_{0})[/math],[br][br](1)[math][br]\quad P_{k}(x,y)=\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}^{i=j}\frac{1}{(j-i)!i!}\left(\frac{\partial^{i}}{\partial x^{i}} \frac{\partial^{j-i}f}{\partial y^{j-i}}(x_{0},y_{0})\right)(x-x_{0})^{i}(y-y_{0})^{j-i}.[br][/math][br][br]Otra manera de escribir [math]P_{k}(x,y)[/math] es,[br][br](2)[math][br]\quad P_{k}(x,y)=\sum_{j=0}^{k}\frac{1}{j!}\left(\Delta x \frac{\partial }{\partial x} +\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)^{j}f(x_{0},y_{0})[br][/math][br][br]Esta expresión requiere ser explicada. En primer lugar,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \Delta x = x-x_{0},\\[br]& \Delta y = y-y_{0}.[br]\end{align}[br][/math][br][br]En segundo lugar, el término,[br][br][math][br]\left(\Delta x \frac{\partial }{\partial x} +\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)^{j}f[br][/math][br][br]debe entenderse como el resultado de aplicar la operación (u operador),[br][br][math]\left(\Delta x \frac{\partial }{\partial x} +\Delta y\frac{\partial }{\partial y}\right)[/math][br][br]a la función [math]f[/math], [math]j[/math]-veces, pero considerando a [math]\Delta x[/math] y a [math]\Delta y[/math] como si fueran constantes, es decir, independientes de [math]x[/math] y [math]y[/math]. [br][br]Para tener una idea de este procedimiento, veamos un ejemplo aplicando dos veces el operador [math]\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)[/math] a una función [math]f[/math].[br][br][math][br]\begin{align}[br]\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)^{2}f & =\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)\left(\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)f\right) =\\[br]& =\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)\left(2\partial_{x}f+3\partial_{y}f\right)=\\[br]& =\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)\left(2\partial_{x}f\right)+\left(2\partial_{x}+3\partial_{y}\right)\left(3\partial_{y} f\right)=\\[br]& =4\partial^{2}_{x}f+6\partial^{2}_{xy}f+6\partial_{yx}f+9\partial^{2}_{y}f=\\[br]& = 4\partial^{2}_{x}f+12\partial^{2}_{xy}f+9\partial^{2}_{y}f.[br]\end{align}[br][/math][br][br]Ahora, si expandimos (2) usando la regla del binomio (siempre pensando a [math]\Delta x[/math] y [math]\Delta y[/math] como constantes), deducimos,[br][br][math][br](\Delta x\frac{\partial}{\partial x}+\Delta y\frac{\partial }{\partial y})^{j}=\sum_{i=1}^{i=j}C^{j}_{i}\Delta^{i} x \Delta^{j-i} y\frac{\partial^{i}}{\partial x^{i}}\frac{\partial^{j-i}}{\partial y^{j-i}}=[br]\sum_{i=1}^{i=j}\frac{j!}{(j-i)!i!}\Delta^{i} x\Delta^{j-i} y\frac{\partial^{i}}{\partial x^{i}}\frac{\partial^{j-i}}{\partial y^{j-i}},[br][/math][br][br]de la cual se obtiene fácilmente (1). Las fórmulas (1) y (2) son equivalentes.[br][br]De (1) o (2) el desarrollo a órden [math]2[/math] queda,[br][br](3)[math][br]\begin{align}[br]\quad P_{2}(x,y) = & f(x_{0},y_{0})+ \frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}(x-x_{0})+\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}(y-y_{0})+\\ [br]& \frac{1}{2}\frac{\partial^{2} f(x_{0},y_{0})}{\partial x^{2}}(x-x_{0})^{2} + \frac{\partial^{2} f(x_{0},y_{0})}{\partial x\partial y}(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2} f(x_{0},y_{0})}{\partial y^{2}}(y-y_{0})^{2}.[br]\end{align}[br][/math][br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Veamos cómo queda el desarrollo de Taylor a orden dos de [math]\cos xy[/math] en [math](x_{0},y_{0})=(0,0)[/math]. A continuación calculamos cada una de las derivadas parciales que aparecen en (3). Calculamos primero las derivadas en un punto genérico [math](x,y)[/math], [br][br][math][br]\begin{align}[br]& \frac{\partial f}{\partial x}=-y\sin xy,\\[br]& \frac{\partial f}{\partial y}=-x\sin xy,[br]\end{align}[br][/math][br][br][math][br]\begin{align}[br]& \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-y^{2}\cos xy,\\[br]& \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=-\sin xy+xy\cos xy,\\[br]& \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-x^{2}\cos xy[br]\end{align}[br][/math][br][br]Cuando esas cinco derivadas parciales son evaluadas en [math](0,0)[/math] el resultado es cero en todos los casos. Por lo tanto el desarrollo a orden dos de [math]f(x,y)=\cos xy[/math] es simplemente [math]P_{2}(x,y)=1[/math].[br][br]Esto podría haberse deducido del desarrollo completo de [math]\cos u[/math],[br][br][math][br]\cos u = 1-\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{4}}{4!}-\ldots[br][/math][br][br]luego de la sustitución [math]u=xy[/math], resultando en,[br][br][math][br]\cos xy=1-\frac{x^{2}y^{2}}{2!}+\frac{x^{4}y^{4}}{4!}-\ldots[br][/math][br][br]y luego de descartar a todos los términos de orden mayor a dos. En este caso se descartan todos menos el primero, el término constante igual a [math]1[/math]. [br][br]En la ventana debajo se visualiza en azul la función [math]f(x,y)=\cos xy[/math] y en rojo el desarrollo de Taylor de orden [math]n[/math] para [math]n[/math] entre [math]0[/math] y [math]20[/math].[br]

[b][color=#ff7700]Ejercicio.[/color][/b] Halle la expresión general para el desarrollo de Taylor de orden tres para funciones de dos variables [math]f(x,y)[/math] en un punto [math](x_{0},y_{0})[/math].[br][br][b][color=#980000]Teorema.[/color][/b] Sea [math]f(x)[/math], [math]x=(x_{1},\ldots,x_{n})[/math] una función [math]C^{k+1}[/math] de [math]n[/math]-variables definida en un abierto de [math]\mathbb{R}^{n}[/math]. Definimos el polinomio de Taylor a orden [math]k[/math] de [math]f(x)[/math] en el punto [math]x_{0}=(x_{01},\ldots,x_{0n})[/math] como,[br][br][math][br]P_{k}(x)=\sum_{j=0}^{j=k}\frac{1}{j!}\left(\Delta x_{1}\frac{\partial }{\partial x_{1}}+\ldots+\Delta x_{n}\frac{\partial }{\partial x_{n}}\right)^{j}f(x_{0})[br][/math][br][br]Entonces si definimos el resto [math]R_{k}(x)[/math] como,[br][br][math][br]f(x)=P_{k}(x)+R_{k}(x),[br][/math][br][br]tenemos,[br][br][math][br]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R(x)}{\|x-x_{0}\|^{k}}=0.[br][/math][br][br]Notar que [math]x-x_{0}=(x_{1}-x_{10},\ldots,x_{n}-x_{n0})=(\Delta x_{1},\ldots,\Delta x_{n})[/math].[br][br][b][color=#980000]Prueba.[/color][/b] Sin pérdida de generalidad hacemos la prueba para funciones de dos variables [math]f(x,y)[/math]. Sea [math]g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}[/math] definida como,[br][br][math][br]g(t)=f((x_{0},y_{0})+t(\Delta x,\Delta y)).[br][/math][br][br]La función [math]g(t)[/math] es [math]C^{k}[/math] por ser una composición de funciones [math]C^{k}[/math]. Podemos por lo tanto escribir,[br][br](4)[math][br]\quad g(1)=g(0)+g'(0)+\frac{g''(0)}{2!}+\frac{g^{'''}(0)}{3!}+\ldots+\frac{g^{'''\ldots'}(0)}{k!}+R_{k},[br][/math][br][br]donde de acuerdo a la fórmula de Lagrange, el resto [math]R_{k}[/math] toma la expresión,[br][br][math][br]R_{k}=\frac{1}{(k+1)!}\frac{d^{k+1}g}{dx^{k+1}}(\bar{t}),[br][/math][br][br]donde [math]\bar{t}[/math] es un número entre [math]0[/math] y [math]1[/math]. [br][br]Observamos que [math]g(1)=f(x,y)[/math] y por lo tanto,[br][br][math][br]f(x,y)=g(0)+g'(0)+\frac{g''(0)}{2!}+\frac{g^{'''}(0)}{3!}+\ldots+\frac{g^{'''\ldots'}(0)}{k!}+R_{k}.[br][/math][br][br]Vamos a probar primero que [math]g(0)+g'(0)+\frac{g''(0)}{2!}+\frac{g^{'''}(0)}{3!}+\ldots+\frac{g^{'''\ldots'}(0)}{k!}[/math] es justamente el polinomio de Taylor [math]P_{k}(x,y)[/math] de [math]f(x,y)[/math] de orden [math]k[/math]. Luego probaremos que el resto [math]R_{k}(x,y)[/math] cumple,[br][br](5)[math][br]\quad \lim_{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}\frac{R_{k}(x,y)}{\|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|^{k}}=0.[br][/math][br][br]Eso concluiría la prueba del teorema.[br][br]Calculamos [math]g'(0)[/math] usando la regla de la cadena obteniendo,[br][br](6)[math][br]\quad g'(t)=(\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})f((x_{0},y_{0})+t(\Delta x,\Delta y)).[br][/math][br][br]Por lo tanto,[br][br][math][br]g'(0)=(\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})f(x_{0},y_{0}).[br][/math][br][br]Observe que [math](\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})f((x_{0},y_{0})+t(\Delta x,\Delta y))[/math] es la función [math](\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})f(x,y)[/math] evaluada nuevamente en [math](x,y)=(x_{0},y_{0})+t(\Delta x,\Delta y)[/math]. Derivando una vez más con respecto a [math]t[/math] a (6) también usando la regla de la cadena tenemos,[br][br][math][br]g''(0)=(\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})^{2}f(x_{0},y_{0}).[br][/math][br][br]Por la misma razón y más en general tenemos,[br][br][math][br]g'''^{\ldots}'(0)=(\Delta x\partial_{x}+\Delta y\partial_{y})^{j}f(x_{0},y_{0}).[br][/math][br][br]donde el número de derivadas que tomamos en el lado izquierdo es [math]j[/math]. Insertado en (4), el cálculo anterior da la fórmula correcta para el polinomio de Taylor [math]P_{k}(x,y)[/math]. [br][br]Resta probar que el resto [math]R_{k}(x,y)[/math] en su forma de Lagrange tiene la propiedad deseada. Si expandimos el resto de Lagrange obtenemos,[br][br][math][br]R_{k}(x,y)=\frac{1}{(k+1)!}\left(\sum_{j=0}^{k+1}C^{j}_{k+1}\Delta^{j}x\Delta^{k+1-j}y\partial_{x}^{j}\partial_{y}^{k+1-j}f(x,y)\right)\bigg|_{((x_{0},y_{0})+\bar{t}(\Delta x,\Delta y))}[br][/math][br][br]Observar que estamos evaluando en [math]t=\bar{t}[/math].[br][br]El punto ahora es el siguiente. Notamos que [math]\|(x-x_{0},y-y_{0})\|=\|(\Delta x,\Delta y)\|=(\Delta^{2}x+\Delta^{2}y)^{1/2}[/math], de donde,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \frac{|\Delta x|}{\|(x-x_{0} ,y- y_{0})\|}\leq \frac{|\Delta x|}{(\Delta^{2} x +\Delta^{2} y)^{1/2}}\leq 1,\\[br]& \frac{|\Delta y|}{\|(x-x_{0} ,y- y_{0})\|}\leq\frac{|\Delta y|}{(\Delta^{2} x +\Delta^{2} y)^{1/2}}\leq 1[br]\end{align}[br][/math][br][br]Por lo que deducimos,[br][br](7)[math][br]\quad \bigg|\frac{\Delta^{j} x\Delta^{k+1-j}y}{\|(x-x_{0},y-y_{0})\|^{k+1}}\bigg|=\|\frac{|\Delta^{j} x|}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{j}}\frac{|\Delta^{k+1-j}y|}{\|(\Delta x,\Delta y)\|^{k+1-j}}=\left(\frac{|\Delta x|}{\|(\Delta x,\Delta y)\|}\right)^{j}\left(\frac{|\Delta y|}{\|(\Delta x,\Delta y)\|}\right)^{k+1-j}\leq 1.[br][/math] [br][br]Ahora, podemos escribir la siguiente desigualdad,[br][br][math][br]\frac{|R_{k}(x,y)|}{\|(x-x_{0},y-y_{0})\|^{k}}\leq \frac{\|(x-x_{0},y-y_{0})\|}{(k+1)!}\left(\sum_{j=0}^{k+1}C^{j}_{k+1}\frac{|\Delta^{j}x||\Delta^{k+1-j}y|}{\|(x-x_{0},y-y_{0})\|^{k+1}}[br]|\partial_{x}^{j}\partial_{y}^{k+1-j}f(x,y)|\right)\bigg|_{((x_{0},y_{0})+t(\Delta x,\Delta y))}[br][/math][br][br]Todos los términos de la suma están acotados, debido a (7) y debido a que, por hipótesis, la función [math]f(x,y)[/math] es [math]C^{k+1}[/math] en un entorno de [math](x_{0},y_{0})[/math] y por lo tanto las funciones [math]\partial_{x}^{j}\partial_{y}^{k+1-j}f(x,y)[/math] que son continuas, son también acotadas en ese entorno.[br][br]Por tanto,[br][br][math][br]\frac{|R_{k}(x,y)|}{\|(x-x_{0},y-y_{0})\|^{k}}\leq C\|(x-x_{0},y-y_{0})\|.[br][/math][br][br]Tomando el límite cuando [math]x\rightarrow x_{0}[/math] y [math]y\rightarrow y_{0}[/math] arribamos a (5). Esto concluye la prueba del teorema de Taylor. [math]\Box[/math].