Die Nachfragefunktion [math]p_N(x)[/math] und die Angebotsfunktion [math]p_A(x)[/math] werden aus Sicht der Mathematik eigentlich oft falsch dargestellt. Der Funktionsname [math]p_N(x)[/math] deutet ja an, dass der Preis abhängig von der Ausbringungsmenge [math]x[/math] ist. Aber in der Praxis ist das in der Regel umgekehrt: die unabhängige Variable ist der Preis. Ein Unternehmen kann seinen Preis ändern und daraufhin, also davon abhängig, verändert sich die Nachfrage. Eigentlich müsste es daher [math]x_N(p)[/math] heißen. [br]Da wir aber die Preisfunktion gerne in das gleiche Koordinatensystem einzeichnen wollen, wie den Erlös und die Kosten, ist es aus Sicht der Mathematik doch erklärlich, dass man die Abhängigkeit von Preis und Warenmenge als [math]p(x)[/math] darstellt.[br][br]Da die verursachende Größe bei einer Nachfrage- oder Angebotsfunktion der Preis ist, steht der Preis bei der Elastizität im Nenner und die Warenmenge, die reagierende Größe, im Zähler:[br][math]e_{N}(x)=\frac{\frac{dx}{x}}{\frac{dp_N}{p_N}}={\frac{dx}{x}}:{\frac{dp_N}{p_N}}={\frac{dx}{x}}\cdot{\frac{p_N}{dp_N}}={\frac 1{\frac{x}\fgcolor{#AA0000}{dx}}\cdot{\frac{p_N}\fgcolor{#AA0000}{dp_N}}=\frac{p_N}{x\cdot\frac\fgcolor{#AA0000}{dp_N}\fgcolor{#AA0000}{dx}}=\frac{p_N}{x\cdot \fgcolor{#AA0000}{p_N'}}[/math][br]Die Elastizität der Nachfrage lautet also:[br][math]\text{\Large{\[\boxed{e_N(x)=\frac{p_N(x)}{x\cdot p_N'(x)}}\]}}[/math][br][br]Bei der Nachfrage ergibt eine [b][i]Verkleinerung[/i][/b] des Preises (das ist eine negative relative Änderung) eine [b][i]Erhöhung[/i][/b] der verkauften Menge (das ist eine positive Änderung der Warenmenge).[br][br][color=#980000][b]Daher ist die Elastizität der Nachfrage immer [i]negativ[/i].[/b][/color]

Gegeben ist die Nachfragefunktion [math]p_N(x)=-1,5\,x+21[/math]. Dann lautet die Ableitungsfunktion [math]p_N'(x)=-1,5[/math] und die Elastizität der Nachfrage ist:[br][br][math]e_N(x)=\frac{-1,5\,x+21}{x\cdot(-1,5)}=\frac{-1,5\,x+21}{-1,5\cdot x}=1-\frac{21}{1,5\,x}=1-\frac{14}{x}[/math][br][br]Die Sättigungsmenge von [math]p_N(x)[/math] ist [math]x_S=14[/math]. Das heißt, dass der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich [math]D_{ök}=[0;14][/math] ist. In diesem gesamten Definitionsbereich ist die Elastizität negativ, weil eine negative Änderung des Preises eine positive Änderung der Warenmenge nach sich zieht. [color=#980000]Aber das spielt bei der Elastizität keine Rolle[/color]. Wichtig ist nur der [color=#980000][b]Betrag[/b][/color] von [math]e_N(x)[/math]. [br][br]Man kann im Kopf schnell nachrechnen, dass [math]e_N(7)=-1[/math] also [math]|e_N(7)|=1[/math]. [br][list][*]Das heißt bei einer Warenmenge von [math]x=7[/math] ist die Situation [b]proportional elastisch[/b] oder [b]fließend[/b].[/*][*]Wenn [math]x<7[/math], dann ist der Betrag der Elastizität [math]|e_N(x)|>1[/math]; für diese Warenmengen [math]x[/math] ist die Situation also [b]elastisch[/b].[/*][*]Wenn [math]x>7[/math], dann ist der Betrag der Elastizität [math]|e_N(x)|<1[/math]; für diese Warenmengen [math]x[/math] ist die Situation daher [b]unelastisch[/b].[/*][/list][br]Wie immer gilt: [b]Schauen Sie sich zu allen Gleichungen die Funktionsgrafen an und versuchen Sie all diese Rechnungen auch an Hand der Funktionsgrafen nachzuvollziehen.[/b]