[size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/right][/size][br][size=85][color=#6aa84f][color=#000000][b]Leitgeraden-Konstruktion[/b][/color][i][b][br]Konfokale[/b][/i][/color], zu einer Achse [color=#f1c232][i][b]symmetrische[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], das sind[br]unten bei der Wahl der Brennpunkte [color=#00ff00][b]f[/b][/color] = 0 und [math]\infty[/math] [br] - das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f [/b][/color]= 0 und [math]\infty[/math], also das Büschel der [color=#ff0000]Ursprungsgeraden[/color][br] - das [color=#ff0000][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [math]\infty[/math] in Richtung der [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Achse[/b][/i][/color], also den [color=#ff0000]Parallelen[/color] zur [math]x[/math]-Achse. [br]In den Schnittpunkten sind die [color=#ff7700][i][b]Parabel-[/b][/i][/color][color=#666666][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] zugleich die [i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i] der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahlen[/b][/i][/color],[br]als auch die [color=#b6b6b6][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]: [math]\infty[/math] ist sowohl ein [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] als auch ein doppelt-zählender Kurvenpunkt.[br]Man kann das auch wie folgt beschreiben: die [math]x[/math]-achsenparallel einfallenden Lichtstrahlen werden an der [color=#ff7700][i][b]Parabel [/b][/i][/color]reflektiert[br]und sammeln sich im [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt.[/b][/i][/color][br]Spiegelt man den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[/b][/color] = 0 an den [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color], so liegen die Spiegelbilder auf der [color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color].[br][size=85]Die [color=#ff0000][i][b]Parabel[/b][/i][/color]-[color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] sind die Mittelsenkrechten der Strecken [color=#00ff00][b]f[/b][/color] [color=#00ffff][b]p[sub]L[/sub][/b][/color], für die gespiegelten Punkte [/size][size=85][size=85][color=#00ffff][b]p[sub]L[/sub][/b][/color][/size] auf der [/size][size=85][color=#0000ff][i][b]Leitgeraden[/b][/i][/color][/size].[br][/size]

[size=85][size=100][b]Scheitelkreis-Konstruktion[/b][/size][br]Die [color=#6aa84f][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] sind auch die [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisbüschel[/b][/i][/color], das sind [br] - das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i]konzentrischen Kreise[/i][/color] um [color=#00ff00][b]f[/b][/color] = 0[br] - die zur [math]x[/math]-Achse [color=#ff0000][i]orthogonalen Parallelen[/i][/color] [br]In den [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkten [/b][/i][/color]auf einer [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] sind die [color=#ff0000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color] ([color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color]) der [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [br][math]x[/math]-achsensymmetrische [color=#666666][i][b]Kreis[/b][/i][/color] und der dazu [color=#999999][i][b]orthogonale Kreis[/b][/i][/color].[br]Wie findet man zu einer [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] die sich auf der [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] schneidenden [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i][/color]?[br]Spiegelt man einen der [math]x[/math]-achsen-Schnittpunkte eines um [color=#00ff00][i][b]f[/b][/i][/color] = 0 [color=#ff0000][i]konzentrischen Kreises[/i][/color] an der [color=#999999][i][b]Scheiteltangente[/b][/i][/color] der [br][color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color], so erhält man den Schnittpunkt einer [color=#ff0000][i][b]Senkrechten[/b][/i][/color] mit der [math]x[/math]-Achse.[br]Wenn [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i][/color] sich schneiden, so auf der [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color].[br]Bemerkenswert ist, dass auch wenn sich [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] und [color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i][/color] [i][b]nicht[/b][/i] schneiden, der [color=#ff0000][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color] in vielen Fällen[br]zu der Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender Kreise[/b][/i][/color] gehört: Man bewege [color=#ff0000][b]s[/b][/color] in der Nähe des [color=#00ff00][i][b]Brennpunktes[/b][/i][/color].[br][br]Auch hier läßt sich das Geschehen als [i][b]Wellen-Reflexion[/b][/i] deuten: die zur [math]x[/math]-Achse orthogonalen Wellenfronten[br]reflektieren an der [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color] als [color=#ff0000][i][b]konzentrische Kreise[/b][/i][/color], die in der Senke [color=#00ff00][i][b]f [/b][/i][/color]= 0 verschwinden oder umgekehrt.[br][br]Die oben genannten Eigenschaften dienen zur "Konstruktion" der [color=#ff7700][i][b]Parabel [/b][/i][/color]als [i][b]Ortslinien[/b][/i].[br][/size]

[i][b][size=85]Zusammenfassung und Erläuterung:[/size][/b][/i][br][size=85]Die oben erwähnten [color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color]-Eigenschaften sind wohlbekannt und mögen etwas umständlich beschrieben erscheinen.[br]Wir wollen in der Folge zeigen, dass es sich im Prinzip um Eigenschaften handelt, die allen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] [br]gemeinsam sind. [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] sind in diesem [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrischen[/b][/i][/color] Zusammenhang nur [i][b]Spezialfälle[/b][/i]![br][br]Alle [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] von 2 [color=#0000ff][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color], [br]mit Hilfe von [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] können die Kurven als [i][b]Ortslinien[/b][/i] "konstruiert" werden,[br]und die Deutung als Überlagerung und Reflexion von [color=#ff0000][i][b]Kreiswellen[/b][/i][/color] ist ebenfalls[br]für alle [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] möglich.[br]Insbesondere läßt sich die Konstruktion der [color=#666666][i][b]doppelt-berührenden Kreise[/b][/i][/color] für [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color],[br]und damit die Konstruktion der [color=#666666][i][b]doppelt-berührenden Kugeln[/b][/i][/color] für [color=#134F5C][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] ganz ähnlich [br]wie die für [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] oder andere [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] beschreiben.[/size]