[br]Niech [math]f[/math] będzie funkcją ciągłą na przedziale [math][a,b][/math]. Z [b]twierdzenia Weierstrassa[/b] wynika, że funkcja [math]f[/math] posiada na przedziale [math][a,b][/math] [b]ekstrema globalne[/b] (absolutne), tzn. osiąga na przedziale [math][a,b][/math][b] wartość największą i wartość najmniejszą[/b]. Aby wyznaczyć te wartości należy [br][list][*]znaleźć w przedziale [math](a,b)[/math] punkty stacjonarne funkcji [math]f[/math], tzn. rozwiązać równanie [math]f'(x)=0[/math] [math]-[/math] etap 1,[/*][*]określić w przedziale [math](a,b)[/math] punkty, w których nie istnieje pochodna funkcji [math]f[/math] [math]-[/math] etap 2,[/*][*]określić wartość największą i najmniejszą funkcji [math]f[/math] porównując wartości funkcji w otrzymanych wcześniej punktach oraz na końcach przedziału (czyli w punktach [math]a[/math] i [math]b[/math]) [math]-[/math] etap 3. [/*][/list][br]

Wyznaczymy ekstrema globalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}[/math][/center]na przedziale [math][3,5][/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br][b]Etap 1.[/b]

Funkcja [math]f[/math] ma trzy punkty stacjonarne, ale tylko [math]x_1=2\sqrt{3}[/math] należy do przedziału [math][3,5][/math]. [br][br][b]Etap 2.[/b] Funkcja [math]f[/math] jest różniczkowalna w całej dziedzinie, więc nie ma takich punktów, w których nie istnieje jej pochodna.[br][br][b]Etap 3.[/b] Funkcja [math]f[/math] może mieć ekstrema globalne w punktach: [math]2\sqrt{3},\ 3[/math] i [math]5[/math]. Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i wybieramy spośród nich wartość największą i najmniejszą.[br]

[b]Odpowiedź[/b]. Z powyższych obliczeń wynika, że [center][math]\min_{x\in\left[3,5\right]}f(x)=f(2\sqrt{3})=3\sqrt{3}[/math], [math]\max_{x\in\left[3,5\right]}f(x)=f(5)=\frac{125}{21}[/math]. [/center] A zatem najmniejsza wartość jaką funkcja [math]f[/math] osiąga na przedziale [math][3,5][/math] to [math]3\sqrt{3}[/math], zaś największa to [math]\frac{125}{21}[/math].

[color=#666666][table][tr][td][b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][/b][/td][td][color=#666666][i][/i][/color][color=#666666][i][color=#666666][size=100][u]Uwaga[/u]. W aplecie do wyznaczenia najmniejszej i [color=#666666][color=#666666][i][color=#666666][size=100]największej [/size][/color][/i][/color][/color]wartości wykorzystaliśmy polecenia [b]Min[/b](L) oraz [b]Max[/b](L), gdzie L [/size][/color]oznacza listę liczb.[/i][/color][/td][/tr][/table][br][/color]

Wyznacz ekstrema globalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}[/math][/center]na przedziale [math][-4,\sqrt{3}][/math].

Podaj przykład przedziału, na którym funkcja [math]f[/math] będzie osiągała ekstrema globalne na brzegach tego przedziału.