Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (Ah[sub]A[/sub]), (Bh[sub]B[/sub]) et (Ch[sub]C[/sub]), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (h[sub]A[/sub]H), (h[sub]B[/sub]H) et (h[sub]C[/sub]H) du triangle orthique h[sub]A[/sub]h[sub]B[/sub]h[sub]C[/sub].[br][br]Cette propriété peut être utilisée pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.[br]Les points B, A, h[sub]B[/sub], h[sub]A[/sub] sont [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/college/angle-inscrit.mobile.html#ch4]cocycliques[br] [/url]sur le cercle de diamètre [AB].[br]On a les égalités d'[url=https://debart.pagesperso-orange.fr/college/angle-inscrit.mobile.html#ch1]angles inscrits[/url] : (h[sub]A[/sub]h[sub]B[/sub], h[sub]A[/sub]A) = (Bh[sub]B[/sub], BA),[br][br]A, C, h[sub]A[/sub], h[sub]C[/sub] sont cocycliques sur le cercle de diamètre [BC],[br]d'où (Bh[sub]B[/sub], Bh[sub]C[/sub]) = (Ch[sub]B[/sub], Ch[sub]C[/sub]), soit (Bh[sub]B[/sub], BA) = (CA, Ch[sub]C[/sub]),[br][br]A, C, h[sub]A[/sub], h[sub]C[/sub] sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AC],[br]d'où (CA, Ch[sub]C[/sub]) = (h[sub]A[/sub]A, h[sub]A[/sub]h[sub]C[/sub]).[br]Par transitivité : (h[sub]A[/sub]h[sub]B[/sub], h[sub]A[/sub]A) = (Bh[sub]B[/sub], BA) = (CA, Ch[sub]C[/sub]) = (h[sub]A[/sub]A, h[sub]A[/sub]h[sub]C[/sub]),[br][br]soit (h[sub]A[/sub]h[sub]B[/sub], h[sub]A[/sub]A) = (h[sub]A[/sub]A, h[sub]A[/sub]h[sub]C[/sub]) et la droite (Ah[sub]A[/sub]) est une bissectrice de (h[sub]A[/sub]h[sub]B[/sub], h[sub]A[/sub]h[sub]C[/sub]).

[url=https://tube.geogebra.org/m/PqC6XmP8][color=#0066cc]Parallèle à un côté du triangle orthique[/color][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/QYaYQrNf]Triangle tangentiel[/url][url=https://tube.geogebra.org/m/TaMWMw4v][color=#0066cc][br]Médiatrice d'un côté du triangle orthique[/color][/url][url=https://tube.geogebra.org/m/RUfKCqgt][color=#0066cc][br]Cercle d'Euler circonscrit au triangle orthique[/color][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/pdMETCNH]Axe orthique[/url][url=https://www.geogebra.org/m/BCT96wxt][br]Triangle orthique[/url][br][br]Descartes et les Mathématiques[br]Géométrie du triangle - [url=https://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/triangle_orthique.html]Triangle orthique[/url][br]