Essa sou eu!
Ladrilhamento do Plano
Livro digital feito a partir da disciplina de Oficina de Prática Pedagógica do curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia. O livro tem como objetivo apresentar o ladrilhamento do plano através de uma perspectiva dos Temas Contemporâneos Transversais, em especifico, seguindo a temática de multiculturalismo. Desejamos um bom aproveitamento do material!
Sommario
- Apresentação
- Sobre a autora
- Sobre a Obra
- Sobre a disciplina e a concepção do projeto
- Introdução
- Uma introdução à semelhança
- Grafismos e pintura corporal indígena
- Alhambra e a tradição lusitana
- Definições e Conceitos
- O que é ladrilhamento?
- Tipos de ladrilhamentos
- Explorando e Investigando
- Com quais poligonos regulares podemos ladrilhar um plano?
- 8.9.2.1 Regular Tessellations
- Isometrias
- Isometrias
- Como criar e manipular mosaicos no Geogebra
- Algumas distorções de polígonos regulares
- Escher
- Obras de Escher
- Quebra-cabeças Poligonais
- Mão na massa!
- Usar photopea
- Identificando e classificando ladrilhamentos novamente!
- Qual é o polígono?
Sobre a autora
Olá, tudo bem?[br][br]Meu nome é Dara Figueira e no momento que faço esse livro me encontro nos últimos períodos do curso de matemática na Universidade Federal de Uberlândia. [br][br]Eu cresci em uma cidade pequena em Minas Gerais em uma casa de artista. Paredes e móveis pintados, tintas, retalhos, telas, bonecas de garrafas, livros de fazer de conta e HQ's. [br][br]Quanto aos meus gostos e personalidade eu acabo sendo um mosaico de todas as pessoas que me importam, de todas as mídias que consumi, de todas as coisas que criei, de todos os lugares que conheci e que não cabem aqui.[br][br]Eu me interesso por diversas expressões artísticas como desenho, pintura, escrita, música, dança, animações, jogos entre outros. Também gosto bastante de programação, robótica e coisas voltadas a tecnologia. Meus interesses acabam por vezes tangendo minha vida profissional.[br][br]Sempre estudei em escolas públicas e pretendo ser professora de educação básica em uma. [br][br]Apresento um pouco de mim, pois o trabalho que se segue possui pedacinhos de pessoas que amo e de assuntos que muito me importam. Ainda preciso conhecer muito para conhecer pouco, mas espero que estes capítulos lhe sejam úteis para algo!
Uma introdução à semelhança
Olhando as imagens acima, você sabe de onde elas foram tiradas?
Você já viu alguma coisa parecida no seu dia a dia? Se sim quando?
Você consegue perceber algo em comum entre essas diferentes imagens?
Semelhança na distinção
Apesar de todas as imagens apresentadas no inicio dessa atividade serem bem distintas, não só visualmente, mas também em suas origens culturais e geográficas elas tem algo em comum: a matemática por trás delas![br][br]A partir de agora nós vamos tentar compreender um pouquinho de onde e o que essas figuras representam para que possamos depois apreciar o que as une!
O que é ladrilhamento?
Definição
[justify][size=100] Como dito no inicio do capitulo anterior, as imagens retiradas de grafismos e pinturas corporais indígenas, das paredes de Alhambra e da tradição de azulejos vindos de Portugal serem visualmente e culturalmente distintos, eles se assemelham na maneira de se construí-los.[br][br] Matematicamente, todos esses padrões tem algo em comum: eles são ladrilhamentos.[br][br] Mas o que é um ladrilhamento?[br][br] Ladrilhamentos, também chamados de pavimentações, tesselações ou mosaicos, são o [b]preenchimento [/b]de uma superfície com figuras geométricas, [b]sem que elas se sobreponham[/b] e [b]sem que tenha espaços vazios (lacunas) entre elas[/b].[br][br] Cada peça do ladrilhamento, ou seja cada uma dessas figuras geométricas são chamadas de [b]moldes [/b]ou [b]peças[/b].[br][br] Existem diversos tipos de ladrilhamentos dependendo de quais figuras geométricas escolhemos, e como esse padrão sem sobreposições e sem lacunas é realizado.[br][/size][/justify]
Antes de mais nada: Com quais figuras geométricas podemos pavimentar o plano?
A verdade é que os tipos de figuras que conseguem cobrir o plano são infinitos, e matemáticos continuam descobrindo novas figuras diferentes em que isso é possível![br][br]Alguns exemplos: [br][br][list][*]Com figuras [b]curvas[/b]:[/*][/list][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Wallpaper_group-p3-1.jpg/250px-Wallpaper_group-p3-1.jpg[/img][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Birds_on_identical_tiles_edge-to-edge_like_puzzle_pieces_Non-periodic_tiling.svg/250px-Birds_on_identical_tiles_edge-to-edge_like_puzzle_pieces_Non-periodic_tiling.svg.png[/img][br][list][*]Com [b]polígonos não convexos[/b]:[/*][/list][img]https://www.clickideia.com.br/sg/uploads/materiais/imagens/imagem41888.jpg[/img][br][b][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Truchet_base_tiling.svg/600px-Truchet_base_tiling.svg.png[/img][br][br][/b][list][*]Com [b]polígonos convexos e irregulares:[/b][/*][/list][b][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/P5-type15-chiral_coloring.png/250px-P5-type15-chiral_coloring.png[/img][br][/b][list][*]Com [b]polígonos convexos e regulares:[/b][/*][/list][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Semi-regular-floor-3464.JPG/250px-Semi-regular-floor-3464.JPG[/img]
Mas afinal de contas, o que é um poligono? E como saber se ele é convexo ou não convexo, regular ou irregular?
Você pode descobrir sobre clicando [b][url=https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-poligono.htm][color=#0000ff]aqui[/color][/url][/b], e para conferir que está tudo certo vamos fazer algumas atividades:
Desenhe três figuras diferentes que não sejam polígonos. Ou caso prefira insira desenhos feitos no papel dos não polígonos.
Desenhe um polígono que não seja convexo e outro que seja convexo, ambos com a mesma quantidade de lados.
É possível que os polígonos da construção acima tenham 3 lados? Por quê?
Desenhe um polígono irregular e outro regular.
Como você construiu o polígono regular?
Com quais poligonos regulares podemos ladrilhar um plano?
Utilize o applet abaixo para tentar formar um ladrilho utilizando apenas um polígono. Todos os polígonos possíveis de construção são regulares.
Quais foram os polígonos regulares que você conseguiu identificar que é possível de se ladrilhar o plano?
Você acha que podem existir outros polígonos que você não testou que são capazes de ladrilhar o plano?
Refaça os ladrilhamentos que você realizou no primeiro applet, e verifique a medida dos ângulos internos dos polígonos utilizados para os ladrilhamentos que deram certo e os que não deram. A soma total dos ângulos internos das figuras que compartilham um mesmo vértice resultam em quanto, em ambos os casos?
Qual você acha que são os critérios para que polígonos regulares possam ladrilhar o plano, sem se sobreporem ou sem que fique um buraco?
Isometrias
Já faz algumas seções que estamos utilizando de forma implícita alguns conceitos de isometria para melhor entendermos como os ladrilhamentos se dão. [br][br]De maneira formal, isometria é qualquer modificação que fazemos em uma figura geométrica em que a distância entre seus pontos permanece a mesma. Ou seja, o tamanho dos segmentos e a amplitude entre seus ângulos permanecem às mesmas. [br][br]As isometrias que utilizamos para realizar ladrilhamentos são três: [b]translação[/b],[b] rotação [/b]e [b]reflexão[/b].
Translação
A translação move uma figura em qualquer direção e a qualquer distância que você queira, sem alterar a figura em qualquer maneira, exceto sua posição no plano.
Rotação
A rotação gira a figura em qualquer sentido desejado em relação a um ponto, sem alterar a figura em qualquer maneira, exceto sua posição no plano. No nosso caso o ponto será na maior parte das vezes um dos vértices da nossa figura.
Reflexão
A reflexão "espelha" ou inverte uma figura, sem alterar a figura em qualquer maneira, exceto seu sentido. É possível refletir uma figura em relação à um ponto ou reta.
A maneira como realizamos ladrilhamentos é na maioria das vezes através de uma combinação dessas isometrias, servindo para produção de ladrilhos regulares, semirregulares e irregulares. [br][br]Ou seja, a partir de polígonos irregulares, também podemos ladrilhar o plano utilizando essas três isometrias. Nas seções seguintes discutiremos um pouco mais como isso é possível.
Obras de Escher
Quem foi Escher?
Maurits Cornelis Escher nasceu no dia 17 de junho de 1898, em Leeuwarden, Holanda. [br][br] Desde a infância, Maurits tinha a capacidade de visualizar padrões espaciais distintos e, apesar de não ter se saído bem em muitos de seus estudos anteriores, frequentou a Escola de Artes Arquitetônicas e Decorativas de Haarlem. [br] Nela, Escher decidiu se especializar em artes gráficas sob a recomendação de seu mentor, Samuel Jessurun de Mesquita. [br] Escher viajou para o Mediterrâneo no início dos anos 20 e foi profundamente influenciado pelas maravilhas do Palácio Alhambra, projetado por mouros, em Granada, Espanha.[br] Após visitar o complexo de palácios Escher comenta em seu diário:[br][br][quote][url=https://escherinhetpaleis.nl/en/about-escher/escher-today/wall-mosaic-in-the-alhambra][size=85]O estranho sobre essa decoração é a ausência total de qualquer forma animal ou humana, e até mesmo, de quase qualquer planta.[/size][/url][/quote] Dessa forma, Escher foi profundamente influenciado pelo palácio, porém inseriu em seu trabalho seus próprios gostos e interesses.[br][br] Para saber mais sobre ele clique [url=https://www.guiadasartes.com.br/maurits-cornelis-escher/obras-principais]aqui[/url].
Galeria de Escher
Clicando [b][color=#0000ff][url=https://mcescher.com/gallery/]aqui[/url][/color][/b], você pode ver uma variedade de trabalhos do autor Escher. Para fins deste livro, os títulos mais relevantes são:[list][*][url=https://mcescher.com/gallery/symmetry/][color=#0000ff][b]Symmetry[/b][/color][/url][/*][*][url=https://mcescher.com/gallery/transformation-prints/][color=#0000ff][b]Transformation Prints[/b][/color][/url][/*][/list]
Usar photopea
Vídeo falando das funções básicas do [url=https://www.photopea.com/]photopea [/url] para editar o ladrilhamento feito no geogebra[br][br]Dar opção da utilização do [url=https://tiled.art/en/create/]Tiled.art[/url] para a criação e personalização 0de ladrilhos também.
Qual é o polígono?
Tiled.art
Clicando [color=#0000ff][b][url=https://tiled.art/en/symmetryClassification/]aqui[/url][/b][/color], podemos ir para uma página que nos ajuda a reconhecer quais polígonos foram utilizados para a composição do mosaico.