[size=85][color=#980000]Bustos Rangel Luis Roberto[br]Noriega Zaldivar Jorge Armando[br]Ortiz Marin Jazmine[br]Saavedra Linares Abigail[br][/color][/size][size=85][color=#980000]Sánchez Esparza Mariana [/color][/size]

Consideremos en el espacio a una recta "[i][size=150][b]L[/b][/size][/i]" (L : (x,y,z) = [b][i]P[/i][/b] + t[i][b]u[/b][/i]) y un punto "[i][b][size=150]Q[/size][/b]".[/i] Queremos hallar una expresión para la distancia [i][b][size=150]d[/size][/b][/i] mínima entre [i][size=150][b]L[/b][/size][/i] y [i][size=150][b]Q[/b][/size], [/i]también el punto [i][size=150][b]Q'[/b][/size] [/i]el cuál será el punto en la recta en la que se alcanza esta distancia mínima. [i][b][size=150]Q'[/size][/b] [/i]será la proyección ortogonal de [i][size=150][b]Q[/b][/size] [/i]a la recta [i][b][size=150]L[/size][/b].[/i][br][br]Una forma de conseguir esto es usando el [b]área del paralelogramo[/b].

Para calcular esto, consideremos un punto [size=150][b][i]P [/i][/b][/size]sobre la recta [i][size=150][b]L[/b][/size] [/i]y un vector director [size=150][b][i]u[/i][/b][size=100]. El área del paralelogramo determinada por el vector [/size][/size][b][i]PQ[/i][/b] y por [size=150][b][i]u[/i] [/b][size=100]es el módulo vectorial de ambos vectores. [br][br][/size][/size][center]||[size=150][i][b]PQ [/b][size=100]x [b][/b][/size][/i][/size][size=150][b][i]u[/i][/b][size=100]||[br][/size][/size][/center][br]El área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la Base por la Altura, entonces:[br][br][center]||[size=150][b][i]u[/i][/b][size=100]||[math]\bullet[/math][i]d[/i]([/size][/size][b][i]Q,L[/i][/b][size=100])[/size][/center][br][center]Por lo tanto: [i]d[/i]([b][i]Q,L[/i][/b][size=100])=[math]\frac{\left|PQ\times u\right|}{\left|u\right|}[/math][/size][/center][center][/center]Otro método que podemos usar para encontrar la distancia es usando el [b]cálculo algebraico[/b].[br][br]Como [i]d[/i]([b][i]Q,L[/i][/b][size=100][i])[/i] = [/size][i]d[/i]([b][i]Q,Q'[/i][/b][size=100]) [/size]con [size=150][b]Q'=P+t[/b][sub]m[/sub][b]u [/b][size=100]y como [/size][/size][size=150][b][i]QQ'[math]\perp[/math][/i][/b][/size][size=150][b]u [/b][size=100]entonces:[br][br][/size][/size][center]([size=150][b][i]Q-Q'[/i][/b][/size])[math]\bullet[/math][size=150][b][i]u[/i][/b][/size]=0 [math]\Longrightarrow[/math]([size=150][b]Q-P-t[/b][sub]m[/sub][b]u[/b][size=100])[math]\bullet[/math][/size][/size][b][i]u[/i][/b][size=150][size=100][/size][/size]=[math]\frac{\left(Q-P\right)\bullet u}{u\bullet u}[/math][/center][center]De aquí obtenemos que [i]d[/i]([size=150][b][i]Q,L[/i][/b][/size])=[i]d[/i]([b][i][size=150]Q,Q'[/size][/i][/b]) con [size=150][b][i]Q'[/i][/b][/size]=[size=150][b][i]P[/i][/b][/size]+[math]\frac{\left(Q-P\right)\bullet u}{\left|\right|u\left|\right|^2}u[/math] = P+proy[sub][b]u[/b][/sub][sup][b]PQ[/b][/sup][/center][sup][b][/b][/sup]Con este método podremos encontrar el punto de proyección de el punto [b][i][size=150]Q[/size][/i][/b] sobre la recta [b][i][size=150]L[/size][/i][/b], es decir [size=150][b][i]Q'[/i][/b][/size].

[justify]Veamos el siguiente planteamiento tenemos en R3, en el[br]espacio, una recta y un punto exterior (P1). La recta la tenemos definida por[br]un punto P0 y su vector director [b]L: { P0, d->}[/b].[/justify]

[justify]Necesitamos saber la distancia más corta entre la recta y él[br]punto [b]P1[/b], para eso podemos usar un triángulo rectángulo (cateto adyacente,[br]cateto opuesto, hipotenusa, ángulo Alpha) y podemos proyectar el vector[br]director al punto [b]P0[/b] y el [b]P1[/b] al [b]P0[/b] con el producto escalar [b]P1P0[/b] y el coseno del[br]ángulo.[br][br]Puedo plantear que si sé cuanto es: [b]el vector x[/b] [b]el vector Proyección (P0P1)[/b] = [b]P0P1[/b]; podemos despejar el vector x y calcular su módulo[br][br][b]Vector P0P1[/b] = [b]vector Proy (vector P0P1) dirección vector d[/b] +[b]vector x[/b][br][br][b]Vector P0P1[/b] – [b]Proy (P0P1)[/b] [b]dirección vector d[/b] = [b]Vector X [/b][br][br][b]Proy (P0P1) dirección vector d[/b] = [b]|Vector P0P1|[/b] * [b]cos ángulo Alpha[/b]; Y esto sale del producto escalar[/justify]

Se refiere a la distancia mínima que existe entre cualquier punto de una recta con cualquier punto de la otra recta. Esta distancia corresponde a la longitud del segmento ortogonal a ambas rectas que va de una recta a otra.

Dadas 2 rectas diferentes [size=150][b][i]L[sub]1[/sub][/i][/b][/size][sub] [/sub]: (x,y,z) = P + t[b]v[/b] y [size=150][b][i]L[sub]2[/sub][/i][/b][/size][sub] [/sub]: (x,y,z) = Q + t[b]u[/b] siempre será posible encontrar 2 planos paralelos (siempre y cuando las rectas no se crucen en ningún punto, en cuyo caso la distancia entre ellas sería igual a 0) [math]\pi[/math][sub]1 [/sub]y [math]\pi[/math][sub]2 [/sub]que contienen a [size=150][b][i]L[sub]1[/sub][/i][/b][/size][sub] [/sub]y [size=150][b][i]L[sub]2[/sub][/i][/b][/size][sub][/sub], respectivamente. El vector normal a estos 2 planos es [b][i]u[/i][/b] [math]\times[/math] [b][i]v[/i][/b].

Sabemos que [i]d[/i]([size=150][b][i]L[sub]1[/sub],L[sub]2[/sub][/i][/b][/size][sub][/sub])=[i]d[/i]([b][size=100][size=150]P[/size][/size][/b],[math]\pi[/math][sub]2[/sub]), [size=150][b]P[/b][/size][math]\in[/math][size=150][b][i]L[sub]1[/sub][/i][/b][/size][sub][/sub] [math]\subset[/math][math]\pi[/math][sub]1[/sub], En detalle sería: Un vector normal para [math]\pi[/math][sub]2[/sub] es [size=150][b][i]n[/i][/b][/size]=[size=150][b]u[/b][/size][math]\times[/math][size=150][b]v[/b][/size] y [size=150][b][i]Q[/i][/b][/size][math]\in[/math][math]\pi[/math][sub]2 [/sub]entonces:[br][br][center][i]d[/i]([b][size=150]L[sub]1[/sub],L[sub]2[/sub][/size][sub][/sub][/b])=[i]d[/i]([size=150][i][b]P[/b],[/i][/size][math]\pi[/math][sub]2[/sub])= [math]\frac{\left|PQ\bullet\left(u\times v\right)\right|}{\left|\right|u\times v\left|\right|}[/math][/center]

Veamos el siguiente planteamiento tenemos en R3, en el[br]espacio, una recta L1 y una recta L2. La recta L1 la tenemos definida por un[br]punto P1 y su vector director d1: [b]{P1, d1->} L2 {P2, d2->}[/b][br][br]

[justify]Necesitamos saber la distancia más corta entre la recta L1 y la recta L2, para eso podemos usar un triángulo[br]rectángulo (cateto adyacente, cateto opuesto, hipotenusa, ángulo Alpha) y[br]podemos calcular el vector x, restando:  [b]vector P1P2[/b] – [b]vector P1P2’[/b] = [b]vector x[/b][br][br][b]Vector P1P2’[/b] = [b]vector Proyeccion vectorial (vector P1P2)[/b] sobre el [b]vector versor d1 [/b][br][br][b]Vector P1P2[/b] – [b](vector P1P2 Producto escalar versor d1) * Versor d1[/b] = [b]Vector X [/b][br][br][b](vector P1P2 Producto escalar versor d1[/b]) = Escalar [br][br][b](vector P1P2 Producto escalar versor d1) * Versor d1[/b] = proyección vectorial[br][br]Distancia = [b]|vector x|[/b][/justify][br][br]