Welche Möglichkeiten der gegenseitigen Lage von Ebenen gibt es?
Ebenen können parallel sein, sich schneiden oder ineinanderfallen. Im letzten Fall sind die Ebenen identisch, das heißt es handelt sich um verschiedene Darstellungsformen ein und derselben Ebene.[br][br]Machen Sie sich das noch einmal mit dem Applet unten bewußt. Di Ebenen sind in Normalenform dargestellt. Sie können den Stütz- und Normalenvektor jeweils über die beiden engeblendeten Punkte ändern.
Beschreiben Sie ihr Vorgehen bei der Bestimmung der Lage von Ebenen, [br]wenn beide Ebenen in Koordinatengleichung gegeben sind. Zum Beispiel:[br][math]3x_1+2x_2-4x_3=2[/math][br][math]3x_1+x_2+2x_3=-1[/math][br]a) Wie liegen die beiden Ebenen zueinander? Beschreiben Sie Ihr [br]Vorgehen.[br]b) Wie bestimmen Sie deren Schnittgerade?
a)[br]1. Koeffizienten der Ebenengleichungen sind Komponenten des jew. Normalenvektors.[br]2. Sind Normalenvektoren Vielfache voneinander[br] --> Ebenen parallel. [br] Wenn nicht [br] --> Ebenen schneiden sich[br]b)[br]1. Für die Punkte der Schnittgerade müssen beide Ebenengleichungen erfüllt sein.[br]2. Beide Ebenengleichungen als LGS auffassen [br] --> 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten[br]3. System ist unterbestimmt, hat unendlich viele Lösungen, [br] --> Substitution der verbleibenden Unbekannten mit t ergibt Gleichung Schnittgerade
Mit dem Applet unten könne nSie beliebig viele Aufgaben generieren und die sich ergebende Schnittgerade überprüfen
Wie gehen Sie bei der Bestimmung der Lage von Ebenen vor, wenn beide Ebenen in Parameterform gegeben sind?
a) Beide Ebenen gleichsetzen. Man erhält ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten (die beiden Koeffizienten der Spannvektoren der beiden Ebenen) Die Lösung dieses LGS führt dann direkt zur Schnittgeraden bzw. im Falle der Parallelität zu einem Widerspruch. (Eher wüste Rechnerei wg LGS)[br][br]b) Mit Kreuzprodukt den Normalenvektor einer Ebene bestimmen, dann für diese Ebene mit Punktprobe Ebenengleichung aufstellen, dann Paramtergleichung der zweiten Ebene einsetzen und daraus Gleichung der Schnittgerade besitmmen
Mit dem Applet unten können Sie beliebig viele Aufgaben generieren und die sich ergebende Schnittgerade überprüfen
Beschreiben Sie ihr Vorgehen bei der Bestimmung der Lage von Ebenen, [br]wenn eine Ebene in Parameterform und eine Ebene als Ebenengleichung gegeben ist.[br][br]a) Wie liegen die beiden Ebenen zueinander? Beschreiben Sie Ihr [br]Vorgehen.[br]b) Wie bestimmen Sie deren Schnittgerade?
a) Die Koeffizienten der Ebenengleichung entsprechen dem Normalenvektor der Ebene. Der Normalenvektor der zweiten Ebene ist durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren gegeben. Sind sie parallel (d.h. Vielfache voneinander), sind auch die Ebenen parallel, da die beiden Normalenvektoren je senkrecht auf den Ebenen stehen.[br][br]b) Die Parametergleichung einzel für jede Dimension auschreiben. Damit erhält man für jede Dimension je eine Gleichung die man dann in die Ebenengleichung einsetzt. Damit erhält man eine Gleichung die man nach einem der beiden Parameter der Koordinatngöeichung auflöst. Einsetzen in die Parametergleichung der Ebene reduziert die Zahl der Paramter von 2 auf 1; man erhält die Geradengleichung
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Im Kapitel 1.4 Zeichnerische Darstellung von Ebenen haben wir uns mit Spurpunkten beschäftigt. Die Koordinaten gleichung einer Ebene birgt eine sehr einfache Form die Spurpunkte zu bestimmen.[br][br]Bringt man eine Ebenengleichung auf die Form:[br][center][math]\frac{x_1}{u}+\frac{x_2}{v}+\frac{x_3}{w}=1[/math][/center][br]Dann sind [math]\left(u,v,w\right)[/math] die Koordinaten der Durchstoßpunkte durch [math]\left(x_1,x_2,x_3\right)[/math]