Má-li funkce [i]f[/i] v bodě [i]A[/i] konečné derivace, pak lze tuto funkci v okolí bodu [i]A[/i] vyjádřit (rozvinout) jako mocninnou řadu. Toto vyjádření funkce prostřednictvím Taylorovy řady se označuje jako Taylorův rozvoj.[br][br]Př: V bodě [i]A[/i] = (0, 1) křivky f: [math]y=e^x[/math] sestrojte její Taylorův polynom 3. stupně T(x). Určete maximální odchylku |f(x)-T(x)| v okolí bodu [i]A[/i] o poloměru [i]r = 2[/i].

Příkazem [code]Taylor(f,x(A),3)[/code] sestrojíme Taylorův polynom 3. stupně funkce [i][color=#38761D]f(x)[/color][/i] v bodě A. Posuvník [i]r[/i] určuje poloměr okolí bodu A, na hranicích okolí přečteme největší odchylku[i] max(er[sub]d[/sub], er[sub]h[/sub]). [/i]V okolí o poloměru r = 2 bodu A = (0, 1) je největší odchylka exponenciály [i][color=#38761D]f(x)[/color][/i] a Taylorova rozvoje [color=#cc0000][i]g(x)[/i][/color] na horní hranici okolí (-2, 2), [br] [b]|f(2)-g(2))| = 1,06.[/b]

V bodě A =(0, 0) sestrojte Taylorův polynom funkce [i]y = [/i]sin[i] x[/i] třetího stupně. Určete maximální chybu aproximace na intervalu (-2/3[i].[/i][i]π[/i], 2/3.[i]π[/i]).