[b][size=150][b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b]積分の基本は微分です。[br]だから、微分の基本を逆読みすると、積分の性質が見えてきますよ。[br][br]＜不定積分＞[/size][/b][br]微分して(F(x)+C)'=f(x)とする。微分をもどして、∫f(x)dx=F(x)＋C[br]微分によって、関数F(x)の定数Cはなくなる。だから、f(x)を微分の逆をして戻すと、[br]関数になくなる前の定数Cをつけることになる。これが[color=#0000ff][b]積分定数C[/b][/color]。[br]微分の逆にもどした関数F(x)を[color=#0000ff][b]原始関数[/b][/color]というね。[br]そして、この、[color=#0000ff][b]形式的な微分の逆演算を不定積[/b][/color]分という。[br][br][b][size=150][color=#9900ff](F(x))'=f(x)のとき、積分をf(x)→F(x)と表してみよう。（積分定数は省略）[/color][/size][/b][br][size=150][b]・トリグルール（[color=#0000ff]三角関数[trigonometry][/color]の基本）[/b][br][/size][b][size=150][color=#0000ff]sec x=[math]\frac{1}{cosx}[/math], cosec x=[math]\frac{1}{sinx}[/math], cotx=[math]\frac{1}{tanx}[/math][br][/color][/size]sin[sup]2[/sup]x+cos[sup]2[/sup]x=1とcos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)[/b]から、[br][b]cos2a=cos[sup]2[/sup]a-sin[sup]2[/sup]a＝1-2sin[sup]2[/sup]a=2cos[sup]2[/sup]a-1[br][/b]tan[sup]2[/sup]x+1=(sin[sup]2[/sup]x+co[sup]2[/sup]x)/cos[sup]2[/sup]x=1/cos[sup]2[/sup]x、[b][color=#0000ff]sin[sup]2[/sup]a=(1-cos2a)/2 , cos[sup]2[/sup]a=(1+cos2a)/2[/color][/b]。[br][b][size=150]・微分と逆演算（不定積分）[br][/size][/b][size=150](1/(n+1)x[sup]n+1[/sup])'=x[sup]n[/sup]から[b]x[sup]n[/sup]→1/(n+1)x[/b][sup][b]n+1[/b][br][/sup](sin x)'=cos xから[b]cos x→sinx[/b]、(-cosx)'=sinxから、[b]sin[/b][b][b] x→-cosx[/b][/b][br][b](tanx)'=1/cos[sup]2[/sup]x=sec[sup]2[/sup]xから、[color=#0000ff]sec[sup]2[/sup]x→tanx[/color][/b][br][b](cotx)'=(1/tanx)'=(cosx/sinx)'=((cosx)'sinx-cosx(sinx)')/sin[sup]2[/sup]x=-1/sin[sup]2[/sup]x[/b]=-cosec[sup]2[/sup]x[br]だから、[color=#0000ff][b]cosec[sup]2[/sup]x→-cotx[/b][br][/color][b]・指数対数関数[br][/b](e[sup]x[/sup])'=e[sup]x[/sup]からe[sup]x[/sup]→e[sup]x[/sup]、[br](log|x|)'=1/xから[color=#0000ff]1/x→log|x|[/color]、[br](a[sup]x[/sup])'=loga a[sup]x[/sup]から[b][color=#0000ff][color=#0000ff]a[/color][sup]x[/sup][color=#0000ff]→[/color][math]\frac{a^x}{loga}[/math][/color][/b][sup][b][br][/b][/sup][size=100][color=#0000ff]（例）[br][/color]「導関数(1/2log|x-1|/|x+1|)’と、不定積分∫1/(x[sup]2[/sup]-1)dx」は？[br]1/2(log|x-1|-log|x+1|)'=1/2(1/(x-1)-1/(x+1))=1/(x[sup]2[/sup]-1)だから、[br][b]∫1/(x[sup]2[/sup]-1)＝1/2log|x-1|/|x+1|＋C[br][/b][br][/size][/size][size=150][b]・対数微分法[br][/b][/size][size=150][size=100][b](log|f(x)|)'=1/f(x)・f'(x)だから、[u]f'(x)/f(x)→log|f(x)|[br][/u][/b][color=#0000ff]つまり、∫f'(x)/f(x) dx =log|f(x)|+C[br]（例）[br][/color]「導関数(log|x+√(x[sup]2[/sup]+a)|)’と、不定積分∫1/√(x[sup]2[/sup]+a) dx」は？[br]1/(x+√(x[sup]2[/sup]+a)) ・（x+√(x[sup]2[/sup]+a))'=(1+2x/2√(x[sup]2[/sup]+a))/(x+√(x[sup]2[/sup]+a))[br]=1/√(x[sup]2[/sup]+a)・(x+√(x[sup]2[/sup]+a))/(x+√(x[sup]2[/sup]+a))=1/√(x[sup]2[/sup]+a)だから、[br][b]∫1/√(x[sup]2[/sup]+a) dx＝log|x+√(x[sup]2[/sup]+a)|+C[/b][br][color=#0000ff]（例）[br][/color][/size][size=50][size=100]「不定積分　∫ tanxdx」は？[br] tanx=sinx/cosx=(-cosx)'/cosx=-(cosx)'/cosxこれで、f(x)=cosxとおける。[br] [b] ∫tanx dx =-∫(cosx)'/cosx dx=-log|cosx|+C[br][/b][/size][/size][/size][size=100][color=#0000ff]（例）[br][/color][/size][size=50][size=100]「不定積分　∫ cotxdx」は？[br] cotx=cosx/sinx=(sinx)'/sinxこれで、f(x)=sinxとおける。[br] [b] ∫cotx dx =∫(sinx)'/sinx dx=log|sinx|+C[/b][/size][/size][br]

[size=100][size=150]・[color=#0000ff]双曲線[hyperbolic, hyper]関数[/color][br][/size][size=150][b]sinh x=1/2(e[/b][sup]x[/sup][b]-e[/b][sup]-x[/sup][b])。cosh x=1/2(e[/b][sup]x[/sup][b]+e[/b][sup]-x[/sup][b])[br][/b][color=#0000ff]ちなみに、geogebraにはsinh(x)もcosh(x)など、多数の双曲線関数がすでに定義されている。[br]だから、定義せずにそのまま使えるね。念のために、定義を確認しておこう。[br][/color][/size]tanh x=sinh x/ cosh x= (e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup])/(e[sup]x[/sup]+e[sup]-x[/sup])、coth x=1/tanh x =(e[sup]x[/sup]+e[sup]-x[/sup])/(e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup])[br]sech x=1/cosh x。cosech x=1/sinh x。[br][/size]・加法定理の証明もカンタンなので略。（sinh x も、cosh x も指数関数の和か差÷２だから）[br]sinh(a+b)=sinh a cosh b + cosh a sinh b。cosh(a+b)=cosh a cosh b + sinh a sinh b。[br]b=-bとすると差の加法定理ができる。sinh( -b)=-sinh(b),cosh(-b)=cosh(b)から、[br]差の加法定理は差に変わるね。[br]さらに、b=aを代入すると、cosh(a-a)=[b]cosh[sup]2[/sup]a- sinh[sup]2[/sup]a=[/b]cosh(0)=2/2e0=[b]1[/b]。[br]・微分[br][b](sinh x)'[/b]=(1/2(e[sup]x[/sup]-e[sup]-x[/sup]))'=1/2((e[sup]x[/sup])'-(e[sup]-x[/sup])')=1/2((e[sup]x[/sup])+(e[sup]-x[/sup]))[b]=cosh x[/b]。同様にして。[b](cosh x)'=sinh x[/b]。[br](tanh x)'=((sinh x)'cosh x-sinhx(cosh x)')/cosh[sup]2[/sup]x=(cosh[sup]2[/sup]x-sinh[sup]2[/sup]x)/cosh[sup]2[/sup]x=1/cosh[sup]2[/sup]x=sech[sup]2[/sup]x[br](coth x)'=-cosech[sup]2[/sup]x (注意　cosech(x)をcsch(x)と省略することが多いようだ。）[br]・積分[br][b]sinh x→cosh x。cosh x→sinh x。sech[sup]2[/sup]x→tanhx。cosech[sup]2[/sup]x→-coth x[br][/b][br][b][size=150]・逆三角関数[/size][/b][br]x=sinyはｙをーπ/2以上＋π/2にすると、ｘはー１以上＋１以下になる。[br]このとき[b][color=#0000ff]逆関数y=sin[sup]-1[/sup]x[/color][/b]を[b][color=#0000ff]y=arcsinx[/color][/b]ともかく。ｘの定義域−１以上１以下でｙの値域-π/2以上π/2以下。[br]同様にして、y=cos[sup]-1[/sup]xのことをy=arccosxともかく、y=tan[sup]-1[/sup]xをy=arctanxともかく。[br]・微分[br]siny=x,y=sin[sup]-1[/sup]x。(sin[sup]-1[/sup]x)'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/d(siny)/dy=1/cosy=1/√(1-sin[sup]2[/sup]y)=[b]1/√(1-x[sup]2[/sup])[br][/b]cosy=x,y=cos[sup]-1[/sup]x。(cos[sup]-1[/sup]x)'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/d(cosy)/dy=-1/siny=1/√(1-cos[sup]2[/sup]y)=[b]-1/√(1-x[sup]2[/sup])[/b][br]tany=x,y=tan[sup]-1[/sup]x。(tan[sup]-1[/sup]x)'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/d(tany)/dy=1/1/cos[sup]2[/sup]y=1/sec[sup]2[/sup]y=1/(1+tan[sup]2[/sup]y)=[b]1/(1+x[sup]2[/sup])[/b][br]coty=x,y=cot[sup]-1[/sup]x。(cot[sup]-1[/sup]x)'=dy/dx=1/(dx/dy)=1/d(coty)/dy=1/(-1/sin[sup]2[/sup]y)=-sin[sup]2[/sup]y=cos[sup]2[/sup]y-1[br]=1/(1+tan[sup]2[/sup]y)-1=(1-1-tan[sup]2[/sup]y)/(1+tan[sup]2[/sup]y)=-tan[sup]2[/sup]y/(1+tan[sup]2[/sup]y)=-1/(1/tan[sup]2[/sup]y+1)=-1/(cot[sup]2[/sup]y+1)=[b]-1/(x[sup]2[/sup]+1)[/b][br]・積分[br][size=150][color=#0000ff][b]∫1/√(1-x[sup]2[/sup])dx= sin[sup]-1[/sup]x+C。[br]∫1/(1+x[sup]2[/sup])dx= tan[sup]-1[/sup]x+C[/b][/color][/size]

[b][size=150]＜定積分＞[/size][/b][br]関数ｆ（ｘ）の定義域の閉区間[a,b]を適当にn個の区間に細分a=a0, a1,...,ai,...an=bして、[br]その細分された幅hiとf(ai)の積の和In＝∑f(ai)hiを近似和という。[br]この和をｎ→∞にしたときhi→dxとなり、 Inの極限値Iを[color=#0000ff][b]定積分[/b][/color]という。[br]この細分は区間の等分とはかぎらず一定値に収束するとき、Iを[a,b]で[color=#0000ff][b]積分可能[/b][/color]という。[br][math]\int^b_af\left(x\right)dx=I[/math] [br]・定積分は線形の操作である。（和・差・定数倍は積分記号の外に出せる。）[br]・定積分はf(x)が区間[a,b]で０以上ならば、その区間での関数とｘ軸がはさむ面積を意味する。[br]・区間[a,a]の定積分は０である。[br]・定積分も微分係数と同様に中間値の定理、平均値の定理が成り立つ。[br][br][b]・定積分と不定積分のつながり[/b][br]ここで、ｂを動かした関数[br][math]S\left(x\right)=\int^x_af\left(t\right)dt[/math] を定義するとき、この微分は[math]S'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\int^x_af\left(t\right)dt=f\left(x\right)[/math]となる。[br]つまり、S(x)はｆ(x)の原始関数の１つだ。だらか、F(x)=S(x)+Cとおける。[br]すると、F(b)-F(a)=S(b)-S(a)=[math]\int^b_af\left(t\right)dt-\int^a_af\left(t\right)dt=\int^b_af\left(t\right)dt[/math] [br] この等式の最初と最後から、[math]\int^b_af\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math]　（不定積分の基本）[br][color=#0000ff]また、対数微分法からの積分公式∫f'(x)/f(x)=log|f(x)|+Cも使おう。[br]有理関数の積分では、部分分数に分解することも考えてみよう。[br][br]（例）[/color][br]「対数微分法から∫1/√(x[sup]2[/sup]+a) dx＝log|x+√(x[sup]2[/sup]+a)|+C。これから定積分[math]\int^1_0\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx[/math]の値」は？[br][math]\text{[log|x+√(x^2+1)|]}^1_0=log\left|1+\sqrt{2}\right|-log\left|0+\sqrt{1}\right|=log\left(1+\sqrt{2}\right)[/math]。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「対数微分法から ∫tanx dx=-∫(cosx)'/cosx dx=-log|cosx|+C。これから、[math]\int^{\frac{\pi}{3}}_0\left(tanx\right)dx[/math]の値」は？[br] -[log|cosx|][sup]π/3[/sup][sub]0[/sub]=-(log(1/2)-log1)=log2。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「対数微分法から ∫2x/(x[sup]2[/sup]+1)dx=∫(x[sup]2[/sup]+1)'/(x[sup]2[/sup]+1) dx=log|x[sup]2[/sup]+1|+C。これから、[math]\int^1_0\frac{x}{x^2+1}dx[/math]の値」は？[br] 1/2[log|x[sup]2[/sup]+1|]1[sub]0[/sub]=1/2(log2-log1)=1/2log2。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「部分分数分解で 1/(x2+x)=1/x(x+1)=1/x-1/x+1。これから、[math]\int^2_1\frac{1}{x^2+x}dx[/math]の値」は？[br] 　[math]\int^2_1\frac{1}{x}dx-\int^2_1\frac{1}{x+1}dx=\left[logx\right]^2_1-\left[log\left(x+1\right)\right]^2_1=log2-log1-\left(log3-log2\right)=log\left(\frac{2^2}{3}\right)=log\left(\frac{4}{3}\right)[/math]