Una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] è [b]derivabile[/b] in un punto [math]\large\bf x_0\in D(f)[/math], [u]se e solo se[/u] [b]derivata destra[/b] e [b]derivata sinistra[/b] [b]esistono finite[/b] e sono [b]uguali[/b], ovvero[br][center][math]\large\bf \exists\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}f'(x)\in\mathbb{R}\quad\wedge\quad\lim_{x\to x_0^-}f'\left(x\right)=\lim_{x\to x_0^+}f'\left(x\right)[/math][/center][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D(f)[/math], se [u]almeno una[/u] tra [b]derivata destra[/b] e [b]derivata sinistra[/b] è [b]finita[/b] e sono [b]diverse[/b], ovvero[br][center][math]\large\bf \lim_{x\to x_0^-}f'\left(x\right)\neq\lim_{x\to x_0^+}f'\left(x\right)\quad\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}f'(x)\in\mathbb{R}[/math][/center]la funzione [b]non è derivabile[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] e tale punto è detto [b]punto angoloso[/b]. [center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D(f)[/math], se [b]derivata destra[/b] e [b]derivata sinistra[/b] tendono ad [b]infinito[/b] con [b]segni diversi[/b], ovvero[br][center][math]\large\bf \lim_{x\to x_0^-}f^{\prime}\left(x\right)=\pm\infty\qquad\lim_{x\to x_0^+}f^{\prime}\left(x\right)=\mp\infty[/math][/center]la funzione [b]non è derivabile[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] e tale punto è detto [b]punto di cuspide[/b]. [center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]\large\bf x_0\in D(f)[/math], se [b]derivata destra[/b] e [b]derivata sinistra[/b] tendono ad [b]infinito[/b] con [b]stesso segno[/b], ovvero[br][center][math]\large\bf \lim_{x\to x_0^-}f^{\prime}\left(x\right)=\lim_{x\to x_0^+}f^{\prime}\left(x\right)=\pm\infty[/math][/center]la funzione [b]non è derivabile[/b] in [math]\large\bf x_0[/math] e tale punto è un [b]punto di flesso a tangente verticale[/b]. [center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

La [b]non derivabilità[/b] in un punto di una funzione continua si ottiene:[br][list][*]con derivata destra e sinistra [b]diverse[/b], e/o[/*][*]con derivata destra e/o sinistra [b]infinite[/b][/*][/list][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

1) sposta il punto P lungo la curva e osserva l'esistenza della retta tangente[br]2) mediante lo slider Es si passa al caso successivo.