[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/07/Gnome-media-playback-sprite.png[/img]Utilizziamo la costruzione sopra per dimostrare il teorema.[br]Con i pulsanti in basso puoi portare indietro la costruzione e avanzare passo a passo.[br][br][b]Caso 1[br][/b][list=1][*]Costruiamo un angolo alla circonferenza[math]\alpha[/math] e l'angolo al centro [math]\beta[/math] che insistono sullo stesso arco AB [step da 1 a 5][/*][*]Consideriamo il segmento VO (=raggio) e la semiretta da V per O che incontra la circonferenza in E [step da 6 a 8][/*][*][step 9] Consideriamo ora il triangolo VOB, è isoscele poiché [math]VO\cong OB\equiv raggi[/math] dunque gli angoli [math]\alpha_1\cong\gamma_1[/math] [/*][*][Step 10] Consideriamo l'angolo esterno al triangolo in O; dal teorema dell'angolo esterno sappiamo che [math]\beta_1[/math] è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti, dunque [math]\beta_1\cong\alpha_1+\gamma_1[/math] e per quanto osservato sopra [math]\beta_1\cong2\alpha_1[/math][/*][*]Avanzando nella costruzione [step fino a 12] e con un analogo ragionamento otteniamo che [math]\beta_2\cong2\alpha_2[/math][/*][*]Non resta adesso che "sommare" queste informazioni [math]\beta=\beta_1+\beta_2\cong2\alpha_1+2\alpha_2=2\alpha[/math][/*][/list][br][br]

[b]Caso 2: [br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon] [/b]Muoviamo B (o A) su E[br]I triangoli si riducono ad uno ma le considerazioni svolte sopra non mutano[br][br][b]Caso 3:[br][/b]Continuando a muovere i triangoli risulteranno ancora due, ma a differenza del primo caso il centro O risulta esterno.[br]Converrà modificare la figura, ma le considerazioni resteranno uguali alle precedenti tranne per il fatto che consideriamo [math]\alpha\cong\alpha_2-\alpha_1[/math] e analogo per [math]\beta[/math][br]