Optimieren in der Betriebswirtschaft

Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = x³ - 8x² + 30x + 50.

1. Skizzieren Sie die Graphen der variablen Kosten, der Stückkosten, der Grenzkosten und der durchschnittlichen variablen Kosten.
2. Bestimmen Sie die minimalen Stückkosten und die minimalen durchschnittlichen variablen Kosten.
3. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch das Betriebsoptimum.
4. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch das Betriebsminimum.

1. Die Kosten K(x) teilen sich auf in variable Kosten K_v(x) = x³ - 8x² + 30x und Fixkosten K_f(x) = 50. Die variablen Kosten sind abhängig von der produzierten Menge x (Rohstoffe, Stücklöhne, ...), die Fixkosten sind unabhängig (Miete, Personalkosten). Die Stückkosten k(x) = K(x) / x sind die Kosten je produzierte Mengeneinheit (Stück). Die Ableitungsfunktion K‘ einer Kostenfunktion K heißt Grenzkostenfunktion. Die durchschnittlichen variablen Kosten sind die variablen Kosten je produzierte Mengeneinheit (Stück): k_v(x) = K_v(x) / x. Aktivieren Sie die entsprechenden Funktionen.
2. Der Graph der Grenzkostenfunktion K‘ schneidet den Graphen der Stückkostenfunktion k in S_0(x_0, y_0). S_0 ist gleichzeitig der Tiefpunkt der Stückkosten k. Der Graph der Grenzkostenfunktion K‘ schneidet den Graphen der durchschnittlichen variablen Kostenfunktion k_v in S_1(x_1, y_1). S_1 ist gleichzeitig der Tiefpunkt der durchschnittlichen variablen Kosten k_v. Aktivieren Sie die Punkte S_0 und S_1.
3. Man nennt die zu x_0 gehörigen Kosten K(x_0) das Betriebsoptimum oder auch langfristige Preisuntergrenze. Aktivieren Sie die Gerade x_0, den Punkt O und die Gerade g. x_0 ist der x-Wert des Tiefpunktes S_0. O ist ein Punkt auf der Kostenfunktion K und g die Tangente an K durch O. Bewegen Sie O in Richtung x_0. Wenn die x-Koordinate von O mit x_0 übereinstimmt, so zeigt der y-Wert von O das Betriebsoptimum an. In diesem Fall geht die Tangente g an K durch O auch gleichzeitig durch den Ursprung. Das Betriebsoptimum kann also grafisch als Tangente an K durch den Ursprung konstruiert werden.
4. Man nennt die zu y_1 = k_v(x_1) gehörigen durchschnittlichen variablen Kosten das Betriebsminimum oder auch kurzfristige Preisuntergrenze. Aktivieren Sie die Gerade x_1, den Punkt M und die Gerade h. x_1 ist der x-Wert des Tiefpunktes S_1. M ist ein Punkt auf der variablen Kostenfunktion K_v und h die Tangente an K_v durch M. Bewegen Sie M in Richtung x_1. Wenn die x-Koordinate von M mit x_1 übereinstimmt, so zeigt der y-Wert von S_1 das Betriebsminimum an. In diesem Fall geht die Tangente h an K_v durch M auch gleichzeitig durch den Ursprung. Der x-Wert des Betriebsminimums kann also grafisch als Tangente an K_v durch den Ursprung konstruiert werden.