Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) = x³ - 8x² + 30x + 50. [list=1] [*]Skizzieren Sie die Graphen der variablen Kosten, der Stückkosten, der Grenzkosten und der durchschnittlichen variablen Kosten. [*]Bestimmen Sie die minimalen Stückkosten und die minimalen durchschnittlichen variablen Kosten. [*]Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch das Betriebsoptimum. [*]Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch das Betriebsminimum. [/list]
[list=1] [*]Die Kosten K(x) teilen sich auf in [b]variable Kosten[/b] K_v(x) = x³ - 8x² + 30x und [b]Fixkosten[/b] K_f(x) = 50. Die variablen Kosten sind abhängig von der produzierten Menge x (Rohstoffe, Stücklöhne, ...), die Fixkosten sind unabhängig (Miete, Personalkosten). Die [b]Stückkosten[/b] k(x) = K(x) / x sind die Kosten je produzierte Mengeneinheit (Stück). Die Ableitungsfunktion K‘ einer Kostenfunktion K heißt [b]Grenzkostenfunktion[/b]. Die [b]durchschnittlichen variablen Kosten[/b] sind die variablen Kosten je produzierte Mengeneinheit (Stück): k_v(x) = K_v(x) / x. Aktivieren Sie die entsprechenden Funktionen. [*]Der Graph der Grenzkostenfunktion K‘ schneidet den Graphen der Stückkostenfunktion k in S_0(x_0, y_0). S_0 ist gleichzeitig der Tiefpunkt der Stückkosten k. Der Graph der Grenzkostenfunktion K‘ schneidet den Graphen der durchschnittlichen variablen Kostenfunktion k_v in S_1(x_1, y_1). S_1 ist gleichzeitig der Tiefpunkt der durchschnittlichen variablen Kosten k_v. Aktivieren Sie die Punkte S_0 und S_1. [*]Man nennt die zu x_0 gehörigen Kosten K(x_0) das [b]Betriebsoptimum[/b] oder auch langfristige Preisuntergrenze. Aktivieren Sie die Gerade x_0, den Punkt O und die Gerade g. x_0 ist der x-Wert des Tiefpunktes S_0. O ist ein Punkt auf der Kostenfunktion K und g die Tangente an K durch O. Bewegen Sie O in Richtung x_0. Wenn die x-Koordinate von O mit x_0 übereinstimmt, so zeigt der y-Wert von O das Betriebsoptimum an. In diesem Fall geht die Tangente g an K durch O auch gleichzeitig durch den Ursprung. Das Betriebsoptimum kann also grafisch als Tangente an K durch den Ursprung konstruiert werden. [*]Man nennt die zu y_1 = k_v(x_1) gehörigen durchschnittlichen variablen Kosten das [b]Betriebsminimum[/b] oder auch kurzfristige Preisuntergrenze. Aktivieren Sie die Gerade x_1, den Punkt M und die Gerade h. x_1 ist der x-Wert des Tiefpunktes S_1. M ist ein Punkt auf der variablen Kostenfunktion K_v und h die Tangente an K_v durch M. Bewegen Sie M in Richtung x_1. Wenn die x-Koordinate von M mit x_1 übereinstimmt, so zeigt der y-Wert von S_1 das Betriebsminimum an. In diesem Fall geht die Tangente h an K_v durch M auch gleichzeitig durch den Ursprung. Der x-Wert des Betriebsminimums kann also grafisch als Tangente an K_v durch den Ursprung konstruiert werden. [/list]