Si [color=#ff0000][b]P[/b][/color] es un punto cualquiera del interior del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color], la suma de los cocientes de las longitudes de los segmentos de ceviana desde los lados hasta [b][color=#ff0000]P[/color][/b] entre las longitudes de las cevianas es igual a [b]1[/b]. En cada caso, las distancias del punto [b][color=#ff0000]P[/color][/b] hasta sus trazas deben considerarse negativas si [b][color=#ff0000]P[/color][/b] está en el semiplano determinado por el lado distinto al del vértice correspondiente.[br]([url=https://www.numdam.org/item/AMPA_1818-1819__9__277_0.pdf]Teorema de Gergonne[/url])

Por ejemplo, la razón entre las áreas de [b][color=#ff00ff]△CAP[/color][/b] y [color=#0000ff][b]△CAB[/b][/color], que tienen la misma base [color=#0000ff][b]CA[/b][/color], es la misma que la de sus alturas, que por semejanza de triángulos es la misma que [color=#ff00ff]EP[/color][b]/[color=#ff0000]EB[/color][/b]. Al igual que las distancias, las áreas de los triángulos determinados por [b][color=#ff0000]P[/color][/b] y los lados deben considerarse negativas cuando [b][color=#ff0000]P[/color][/b] está en el semiplano opuesto al del vértice correspondiente. De esta manera el área de [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b] será siempre la suma, con el signo correspondiente, de las de los triángulos [b][color=#ff00ff]△ABP[/color][/b], [b][color=#ff00ff]△BCP[/color][/b] y [b][color=#ff00ff]△CAP[/color][/b][br][br]Si en lugar de las distancias desde los lados, se toman las distancias desde los vértices, la suma es:[br][br][b]PA/DA + PB/EB + PC/FC = (1 - DP/DA) + (1 - EP/EB) + (1 - FP/FC) = 3 - (DP/DA + EP/EB + FP/FC) = 2[/b][br][br]Para el baricentro, en cada caso, los tres cocientes son iguales a [b]⅓[/b] y [b]⅔[/b] respectivamente.