[size=150]Tutte le formule di questo paragrafo saranno ottenute delle formule goniometriche di somma. Richiamiamole quindi qui sotto in modo da averle come comodo riferimento.[color=#ff0000][br][br][math]\huge{\textcolor{red}{\sin(\alpha + \beta)} = \sin (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\beta)\cos (\alpha)}[/math][br][br][math]\huge{\textcolor{blue}{\cos(\alpha + \beta)} = \cos (\alpha)\cos (\beta) - \sin (\alpha)\sin (\beta)}[/math][/color][color=#ff0000][br][br][b]FORMULE DI DUPLICAZIONE[/b][/color][/size][br]Se all'angolo [math]\large{\alpha}[/math] sommiamo se stesso, otteniamo ovviamente [math]\large{2\alpha}[/math]. Possiamo usare questo stratagemma per ottenere, a partire dalle formule di somma, le formule di duplicazione, cioè le formule che ci permettono di calcolare seno e coseno di un angolo DOPPIO di un angolo dato.[br][br]Se nella formula di somma del seno al posto di [math]\large{\beta}[/math] sommiamo un secondo [math]\large{\textcolor{red}{\alpha}}[/math], otteniamo:[br][br][math]\large{\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \textcolor{red}{\alpha}) = \sin (\alpha)\cos (\textcolor{red}{\alpha}) + \sin (\textcolor{red}{\alpha})\cos (\alpha)}[/math][br][br]sommando i due termini identici si ha la [color=#ff0000][b]formula di duplicazione del seno[/b][/color]:[br][br][math]\huge{\textcolor{red}{\sin(2\alpha)} = 2\sin (\alpha)\cos (\alpha)}[/math][br][br]Facendo la stessa cosa per il coseno abbiamo:[br][br][math]\large{\cos(2\alpha) =\cos(\alpha + \textcolor{red}{\alpha}) = \cos (\alpha)\cos (\textcolor{red}{\alpha}) - \sin (\alpha)\sin (\textcolor{red}{\alpha})}[/math][br][br]sviluppando i conti arriviamo alla [b][color=#0000ff]formula di duplicazione del coseno[/color][/b]:[br][br][math]\huge{\textcolor{blue}{\cos(2\alpha)} = \cos^2 (\alpha)- \sin^2 (\alpha)}[/math][br][br]Da notare che assomiglia alla legge fondamentale della goniometria, ma i due termini non sono sommati - darebbe 1! - bensì sottratti.[br][br]Verifichiamo la correttezza di queste formule con un semplice esempio, ovvero calcolando seno e coseno di 60° considerandolo come il doppio di 30°:[br][br][math]\large{\sin(60°) = \sin(2 \cdot 30°) = 2\sin (30°)\cos (30°) = 2 \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[br] = \frac{\sqrt{3}}{2}}[/math][br][math]\large{\cos(60°) = \cos(2 \cdot 30°) = \cos^2 (30°)- \sin^2 (30°) = \left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2 - \left (\frac{1}{2} \right )^2 = \frac{3}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}}[/math][br][br]Allo stesso modo si possono ricavare ad esempio le caratteristiche di [math]90°=2 \cdot 45°[/math] oppure [math]120°=2 \cdot 60°[/math].[br][br]Ovviamente le formule di duplicazione hanno anche altre applicazioni, oltre a quella di verificare gli angoli già noti. Le vedremo più avanti. [br][b][br][color=#ff0000][size=150]LE FORMULE DI SOTTRAZIONE[/size][/color][/b][br]Sfruttiamo di nuovo le formule di somma per ottenere quelle di sottrazione. Sottrarre due angoli, infatti, equivale a sommare al primo [i]l'opposto del secondo[/i]. [br][br]Recuperiamo quindi le formule di somma del seno, ed al posto dell'angolo [math]\large{\beta}[/math] sommiamo l'angolo [math]\large{\textcolor{red}{-\beta}}[/math]:[br][br][math]\large{\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (\textcolor{red}{- \beta})) = \sin (\alpha)\cos (\textcolor{red}{- \beta}) + \sin (\textcolor{red}{- \beta})\cos (\alpha)}[/math][br][br]A questo punto dobbiamo ricordarci delle proprietà di seno e coseno, ovvero che il primo è una funzione dispari ([math]\large{\sin(-\beta) = -\sin(\beta)}[/math]) mentre il secondo è una funzione pari ([math]\large{\cos(-\beta) = \cos(\beta)}[/math]). [br]Possiamo vedere la stessa cosa ricordando che [math]\large{\beta}[/math] e [math]\large{-\beta}[/math] [b]sono due archi associati[/b].[br]

Sostituendo queste considerazioni nella nostra formula [br][br][math]\large{\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha + (\textcolor{red}{- \beta})) = \sin (\alpha)\textcolor{blue}{\cos (- \beta)} + \textcolor{red}{\sin (- \beta)}\cos (\alpha) = \sin (\alpha)\textcolor{blue}{\cos (\beta)} + \textcolor{red}{-\sin (\beta)}\cos (\alpha)}[/math][br][br]da cui otteniamo la [b][color=#ff0000]formula di sottrazione del seno[/color][/b]:[br][br][math]\huge{\textcolor{red}{\sin(\alpha-\beta)}= \sin (\alpha)\cos (\beta) - \sin ( \beta)\cos (\alpha)}[/math][br][br]Ora facciamo lo stesso con il coseno: riprendiamo le formule di somma ed al posto dell'angolo [math]\large{\beta}[/math] sommiamo l'angolo [math]\large{\textcolor{red}{-\beta}}[/math]:[br][br][math]\large{\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha + (\textcolor{red}{-\beta})) = \cos (\alpha)\cos (\textcolor{red}{-\beta}) - \sin (\alpha)\sin (\textcolor{red}{\beta})}[/math][br][br]Di nuovo, applicando le considerazioni su parità di seno e coseno nella nostra formula e svolgendo i calcoli otteniamo la [b][color=#0000ff]formula di sottrazione del coseno[/color][/b]:[br][br][math]\huge{\textcolor{blue}{\cos(\alpha-\beta)}= \cos (\alpha)\cos (\beta) + \sin (\alpha)\sin (\beta)}[/math]