[color=#ff0000][size=50][right][size=85]Dieses Applet kann kritisch sein![/size][/right][/size][/color][br]Lösungskurven eines quadratisches Vektorfeldes sind Integralkurven [br]einer [color=#38761D][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color] des Typs:[br][list][*][math]\left(z'\right)^2=c\cdot\left(z-z_1\right)\cdot\left(z-z_2\right)\cdot\left(z-z_3\right)\cdot\left(z-z_4\right)[/math][br][/*][/list]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] (Nullstellen) des Vektorfeldes können bewegt werden. [br]Der Mittelpunkt [math]g_0[/math] des [i]Gitters[/i] und des [i]Richtungsfeldes[/i] ebenso.[br]Von [math]z_0[/math] aus gehen zwei orthogonale stückweise linear-approximierende Lösungskurven.[br]Diese sind komplex-punktweise in einer Tabelle erzeugt worden. [br]In jede der vier Richtungen gehen 100 Linienstücke. [br]Kommen diese in die Nähe der Nullstellen, entsteht Chaotisches. [br][br]Die Lösungskurven sind allgemein für jede beliebige Lage der [i][b]Brennpunkte[/b][/i] für spezielle [br]Drehwinkel [math]\alpha[/math] Winkelhalbierende der Büschelkreise [math]K\left(z_1,z_2,z_0\right)[/math] und [math]K\left(z_3,z_4,z_0\right)[/math]. [br]Sie bilden also ein orthogonales Kurvennetz![br][br]Die Lösungen der [i]elliptischen Differentialgleichungen[/i] werden als "doppelt periodisch" bezeichnet.[br]In welchen Richtungen sind die Lösungskurven geschlossen?[br][list][*]Lösungskurven sind bei [i][b]vier verschiedenen Nullstellen[/b][/i] in speziellen Lagen der Nullstellen und nur in speziellen Richtungen [i][b]konfokale[/b][/i] [i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i]:[br]Dies ist nur dann der Fall, wenn die absolute Konstante der vier Punkte reell ist (siehe [b]Kap [/b][b]4[/b]:[i] [b]Lage von 4 Punkten[/b][/i]). [/*][/list][br]Die Nullstellen liegen dann auf einem Kreis, oder sie liegen spiegelsymmetrisch [br]paarweise auf zwei orthogonalen Kreisen.[br]Die Brennpunkte der [i]konfokalen bizirkularen Quartiken [/i]sind die Nullstellen des Vektorfeldes. [br]Fallen Nullstellen zusammen, erhält man [i]konfokale Kegelschnitte[/i], wenn man die mehrfache Nullstelle [br]nach [math]\infty[/math] verlegt.[br]Die Anzeige der Verbindungskreise von je drei Nullstellen kann unterstützen, solche Lagen einzustellen![br][br][i]Das Folgende ist eine vage Beschreibung geometrischer Sachverhalte[/i]:[br]Man kann Kreisbüschel als Wellenbewegung deuten. Wellen bewegen sich von einer Quelle aus [br]in Richtung einer Senke. Die Wellen sind die Kreise des elliptischen, die Ausbreitungsrichtung wird durch [br]die Kreise des hyperbolischen Büschels beschrieben. [br]Parabolische Kreisbüschel deuten wir als Wellen, die sich in einem Punkt und einer Richtung berühren.[br]Quadratische Vektorfelder mögen wir uns vorstellen als Überlagerung von zwei solchen [br]Wellenbewegungen: die resultierende Welle und Ausbreitungsrichtung ergeben sich [br]aus den Winkelhalbierenden.[br]Das sieht dann allerdings nicht so aus wie die Bewegung unten, welche jedoch durch Bewegen der [br]Büschelpunkte auch skurile Bilder erzeugt![br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]