三角形の心の分類…Hは何かプロジェクト

Bunryu Kamimura, Dec 22, 2015

ジオジェブラは表現するだけでなく、発見にも使える。 オイラー線上の第５の点Hとは何かを考える上で関連がある素材を集めてみた。 それらの関連を調べるプロジェクト。 「三角形の心」の紹介[url]http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html[/url]

Table of Contents

  1. Hの探究から心の分類へ
    1. Hは何だろうか？
    2. 三円交線の交点
    3. 三円交線から外心と垂心とHを作る
    4. 三円交線その２
    5. 三円交線その３
    6. ３円交線中交点
    7. 三角形の心の相互関係
    8. 傍心三角形のオイラー線
    9. 三角形の心＋３
    10. 三角形の心（オイラー線上の６点）
    11. 三角形の心の分類
    12. HはＸ５４６！
  2. 三角形の５心
    1. 傍心と内心
    2. 外心と重心
    3. 垂心と垂足三角形
    4. 三角形の心の作図のコマンド
  3. その他の中心
    1. 三線座標
    2. 類似重心
    3. 類似重心（ルモアーヌ点）を通る双曲線
    4. 刈屋点を傍心で考えると
    5. Housel線
    6. ナーゲル点
    7. フォイエルバッハ双曲線
    8. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
    9. △ＡＢＣの相似三角形の重心と外心と垂心と擬似重心の軌跡は一点で交わる
    10. コスニタ点
    11. プラソロフ点
    12. フェルマー点
    13. 六点円（テーラー円）と三角形の心
    14. タッカー円
  4. 三角形の中心の作る宇宙
    1. TriangleCenter() のコピー
    2. 三角形の中心の作る宇宙
    3. 等角等距離双曲線と三角形の心
    4. 三角形の角の二等分線
    5. 傍心三角形と心
    6. 三角形に関する極と極線
    7. 極と極線は一対一に対応
    8. 三角形の中心を極とする極線
    9. 三角形の心と極線
    10. 極線と傍心三角形

1.

Hの探究から心の分類へ

三円交線で作った心がどのようなものかを調べた。 三円交線が必ず一点で交わることから、 三角形の頂点を中心として３円をえがけば、 多くの心を見つけることができる。

  • 1. Hは何だろうか？
  • 2. 三円交線の交点
  • 3. 三円交線から外心と垂心とHを作る
  • 4. 三円交線その２
  • 5. 三円交線その３
  • 6. ３円交線中交点
  • 7. 三角形の心の相互関係
  • 8. 傍心三角形のオイラー線
  • 9. 三角形の心＋３
  • 10. 三角形の心（オイラー線上の６点）
  • 11. 三角形の心の分類
  • 12. HはＸ５４６！

1.1.

Hは何だろうか？

三角形の各頂点を中心にして対辺の中点を通る円の交点を結んだ直線の交点がH 外心と垂心は仲間ということがよくわかるが、重心はどういう仲間だろうかと探していて見つけた点。 これで、垂心・H・９点円心・重心・外心の５点がオイラー線上に一直線上に並ぶ。

外心、垂心、Hは全て三円交線の仲間！ 重心は頂点と中点を結んだ線。 Hは九点円心と垂心の中点！であることがわかった！ ではHは新しい点か、それともすでに発見されているか？調べてみよう。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

1.11.

–

1.12.

–

2.

三角形の５心

内心・外心・重心・垂心・傍心を５心という。

  • 1. 傍心と内心
  • 2. 外心と重心
  • 3. 垂心と垂足三角形
  • 4. 三角形の心の作図のコマンド

2.1.

傍心と内心

△ABCの９点円を作図してみよう。３辺の中点を通る円が９点円。すると・・・
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

その他の中心

三角形の中心は、どれほどあるのだろうか。 まず、三円交線が必ず一点で交わることから、これまたたくさん作ることができる。 いろいろな案を練って、作ってみると面白い。

  • 1. 三線座標
  • 2. 類似重心
  • 3. 類似重心（ルモアーヌ点）を通る双曲線
  • 4. 刈屋点を傍心で考えると
  • 5. Housel線
  • 6. ナーゲル点
  • 7. フォイエルバッハ双曲線
  • 8. 類似重心（ルモアーヌ点）の作り方
  • 9. △ＡＢＣの相似三角形の重心と外心と垂心と擬似重心の軌跡は一点で交わる
  • 10. コスニタ点
  • 11. プラソロフ点
  • 12. フェルマー点
  • 13. 六点円（テーラー円）と三角形の心
  • 14. タッカー円

3.1.

三線座標
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

4.

三角形の中心の作る宇宙

  • 1. TriangleCenter() のコピー
  • 2. 三角形の中心の作る宇宙
  • 3. 等角等距離双曲線と三角形の心
  • 4. 三角形の角の二等分線
  • 5. 傍心三角形と心
  • 6. 三角形に関する極と極線
  • 7. 極と極線は一対一に対応
  • 8. 三角形の中心を極とする極線
  • 9. 三角形の心と極線
  • 10. 極線と傍心三角形

4.1.

TriangleCenter() のコピー

これを使うと、三角形の心がどのように並んでいるのかわかる。トレースをクリックして心の位置を確かめてみよう。
[url=https://wiki.geogebra.org/en/TriangleCenter_Command]TriangleCenter(A ,B ,C ,n )[br][/url][list=1][*]Incenter[br][/*][*]Centroid[br][/*][*]Circumcenter[br][/*][*]Orthocenter[br][/*][*]...[/*][/list]トレースをＯＮにして、カーソルを順番に動かしていくと、オイラー線や９点円、外接円、双曲線が浮かび上がってくる。作図で確認してみよう。
三角形の心についての解説のページ
[url=http://mathworld.wolfram.com/TriangleCenter.html]Triangle Center[/url][br][br]より詳しいページ[br][url=https://www.google.co.jp/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=11&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiAiqnzt57XAhVKfrwKHZTFC4gQFghkMAo&url=http%3A%2F%2Ffaculty.evansville.edu%2Fck6%2Fencyclopedia%2F&usg=AOvVaw3alSIIGi3UVqdHIrGJBQQL]ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS[/url]
– Bunryu Kamimura, Tatsuyoshi Hamada

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

Information