Im [b]POINCARÉ[/b]schen [i][b]Kreisscheibenmodell[/b][/i] der hyperbolischen Ebene sind [color=#0000ff][i][b]GERADEN[/b][/i][/color] die auf dem absoluten Kreis [b]K[sub]0[/sub][/b] senkrecht stehenden Kreis-Segmente und [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] die Punkte im Inneren von [b]K[sub]0[/sub][/b].[br]Durch je zwei [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] geht genau eine [color=#0000ff][i][b]GERADE[/b][/i][/color]. [size=85]Nachzuschlagen zB. bei wikipedia [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Geometrie]Hyperbolische Geometrie[/url]![/size][br][br][i][b][color=#980000][size=150]Wie definiert man Abstände?[/size][/color][/b][/i][br][br]Um einfacher rechnen zu können, betrachten wir das Kreisscheibenmodell in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math].[br]Die [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]a[/b][/color], [color=#00ff00][b]b[/b][/color], [color=#00ff00][b]c[/b][/color], [color=#00ff00][b]d[/b][/color] sind also komplexe Zahlen, daher haben wir sie mit Kleinbuchstaben notiert.[br]Die [i][color=#0000ff][b]GERADE[/b][/color][/i] durch zwei [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]a[/b][/color] und[color=#00ff00][b] b[/b][/color], also der zu [b]K[sub]0[/sub][/b] orthogonale Kreis durch [color=#00ff00][b]a[/b][/color] und [color=#00ff00][b]b[/b][/color] schneidet [b]K[sub]0[/sub][/b] in zwei Punkten [color=#444444][i][b]u[/b][/i][/color], [color=#444444][i][b]v[/b][/i][/color]. Mit diesen wird der hyperbolische Abstand der beiden [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] definiert:[br][br][list][*][math]\left|\, a\,,b\,\right|_h:=\left|\mathbf{ln}\left(\mathbf{Re}\left(Dv\left(a,b,u,v\right)\right)\right)\right|[/math] mit dem [br]komplexen [i][b]Doppelverhältnis[/b][/i] [math]Dv\left(z_1,z_2,z_{3,},z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math] für [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math].[br][/*][/list]Da das [i][b]Doppelverhältnis[/b][/i] von 4 komplexen Zahlen [i][b]reell[/b][/i] ist, wenn die Punkte auf einem Kreis liegen, wäre die Verwendung des Realteils nicht nötig, reelle Zahlen werden in [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra[/b] nach komplexen Rechnungen aber als [math]z=x+0\cdot i[/math] dargestellt, die Verwendung von [b]Re[/b] erleichtert dem natürlichen Logarithmus [b]ln[/b] seine Arbeit. | ... | : Abstände sind per se nicht-negativ.[br]Warum diese ziemlich komplex erscheinende Definition?[br]Das [i][b]Doppelverhältnis [/b][/i]verhält sich "multiplikativ": [math]Dv\left(a,b,u,v\right)\cdot Dv\left(b,c,u,v\right)=Dv\left(a,c,u,v\right)[/math], mit Hilfe des [b]ln[/b] folgt dann, dass für [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]a[/b][/color],[color=#00ff00][b] b[/b][/color],[color=#00ff00][b] c[/b][/color] auf einer Geraden die Abstände sich addieren, wenn sie in der Reihenfolge [color=#00ff00][b]a[/b][/color],[color=#00ff00][b] b[/b][/color],[color=#00ff00][b] c[/b][/color] auf der [color=#0000ff][b]GERADEN[/b][/color] liegen, also salopp: wenn [color=#00ff00][b]b[/b][/color] zwischen [color=#00ff00][b]a[/b][/color] und [color=#00ff00][b]c[/b][/color] liegt: [math]\left|a,b\right|_h+\left|b,c\right|_h=\left|a,c\right|_h[/math].[br]Man kann das im Applet ausprobieren, die Rechnungen werden im Hintergrund wie angegeben durchgeführt.[br][br]Man sollte vermuten, dass der Abstand zu einem [color=#00ff00][i][b]PUNKT[/b][/i][/color], der zum [i][b]Rand[/b][/i] der Ebene strebt, unendlich groß wird, das läßt sich aber mit [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra[/b] schlecht erkennen.[br]Wir haben dazu versucht, die [color=#00ffff][i][b]Abstandsfunktion[/b][/i][/color] für den Abstand von [color=#00ff00][i][b]PUNKTEN[/b][/i][/color] auf der innerhalb [b]K[sub]0[/sub][/b] verlaufenden [math]x[/math]-Achse zum Ursprung [b]O [/b]darzustellen. Da wir als Mittelpunkt der Kreisscheibe [b]O[/b] gewählt haben, ist der fragliche Teil der [math]x[/math]-Achse eine hyperbolische [color=#0000ff][i][b]GERADE[/b][/i][/color]! Man erkennt am Verlauf des [color=#00ffff][i][b]Funktionsschaubildes[/b][/i][/color], dass der Abstand zu [b]O[/b] zum Rand hin [math]\infty[/math] wird![br][br]Schließlich sei angedeutet, dass die [color=#00ff00][i][b]ECKPUNKTE[/b][/i][/color] eines Dreiecks auch in der hyperbolischen Ebene vom [color=#ff0000][i][b]Mittelpunkt [/b][/i][b]M[/b][/color] des [color=#ff7700][i][b]Umkreises[/b][/i][/color] denselben Abstand besitzen! [br]Im [b]POINCARÉ[/b]schen Kreismodell ist ein ganz im Innern verlaufender Kreis tatsächlich ein hyperbolischer [color=#ff7700][i][b]KREIS[/b][/i][/color]: d.i. die Menge aller [color=#00ff00][i][b]PUNKTE[/b][/i][/color], die von einem [color=#00ff00][i][b]PUNKT[/b][/i][/color] - dem [color=#00ff00][i][b]MITTELPUNKT[/b][/i][/color] - denselben hyperbolischen Abstand besitzen! Allerdings ist der [color=#00ff00][i][b]MITTELPUNKT[/b][/i][/color] nicht der EUKLIDische Kreismittelpunkt. Die Dreieckskonstruktion liefert einen Hinweis darauf, wo der [color=#00ff00][i][b]MITTELPUNKT[/b][/i][/color] liegen könnte.[br][br][right][color=#980000][size=50]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/size][/color][/right][br]

Das Applet unten illustriert die hyperbolische Abstandsfunktion [math]\left|x,x_0\right|_h[/math] für die Punkte [math]x,x_0[/math] eines Intervalls [math]]u,o[[/math]:[br][list][*][math]\left|x,x_0\right|_h:=\left|\mathbf{ln}\left(\frac{u-x}{o-x}\cdot\frac{o-x_0}{u-x_0}\right)\right|[/math][br][/*][/list]Diese Funktion verhält sich wie eine [i][b]Abstandsfunktion[/b][/i] - sie besitzt nämlich die folgende "lineare" Eigenschaft:[br][list][*][math]\left|a,b\right|_h+\left|b,c\right|_h=\left|a,c\right|_h[/math] für Punkte des Intervalls: [math]a,b,c[/math] mit [math]u[/math]<[math]a\le b\le c[/math]<[math]o[/math].[br][/*][/list][br]Die Punkte auf der [math]x[/math]-Achse können bewegt werden.