Tomamos la parte de la celdilla que corresponde al dodecaedro rómbico, la formada por tres rombos y seis triángulos que se ha coloreado de verde.

El cálculo del volumen de esa región es sencillo como se ha visto en el apartado Celdillas de volumen constante. Basta con multiplicar el área del hexágono por la mitad de la altura.

Para comparar con el principio de celdilla de Tóth es necesario construir una región que tenga el mismo volumen que la anterior, para ello empezamos por el poliedro y, al llegar al prisma, tomaremos la región necesaria para completar el volumen anterior.

Para el volumen podríamos utilizar las fórmulas que Cundi & Rollet (1981) exponen ampliamente en su libro. Si usamos GeoGebra el procedimiento puede ser otro: descomponer el cuerpo en prismas y pirámides que el software calcula con precisión. Hemos construido:[list][*]Prisma de base triangular en color rojo (hay 2)[/*][*]Pirámide de color verde (hay 4)[/*][*]Prisma con base en los rombos de color marrón (debemos quitar 2 a la suma de los dos anteriores[/*][*]Como el volumen de los tres primeros apartados es inferior al calculado en el caso de los rombos, añadimos un trozo del prisma hexagonal de la celdilla en color naranja (se puede hacer con un deslizador con avance de 0.00001 para obtener la precisión requerida)[/*][/list][br]A partir de aquí queda obtener las áreas, lo haremos a partir de la suma de los polígonos del exterior de los poliedros construidos[br][list][*]En el caso del dodecaedro rómbico el área se obtiene sumando la de 3 rombos y 6 triángulos, el resultado es 12.26163 u[sup]2[/sup].[/*][*]Para el poliedro de Tóth se han marcado uno de cada tipo en color morado: tenemos 2 hexágonos, 4 triángulos, 2 rombos y 6 rectángulos, estos últimos son las caras laterales del pequeño prisma que se ha añadido. Obtenemos un área de 12.23584 u[sup]2[/sup].[br][/*][/list][br]El cociente entre estos resultados es de 1.0021, es decir, la mejora de Tóth supone un 0.21% respecto al poliedro más utilizado por las abejas.

Esta actividad pertenece al libro[url=https://www.geogebra.org/m/yptgm5n4] La geometría del panal [/url]de [url=https://www.geogebra.org/u/jamora]José Antonio Mora[/url].