Vamos analisar como uma transformação [math]T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] modifica o plano.[br]Na janela 1, você tem o plano uv, e três vetores. Clicando no ponto final de cada vetor, você pode visualizar como a transformação aplica estes vetores na janela 2, que representa o plano xy.[br][br]As linhas marcadas na janela 2 indicam como os vetores da base de uv se modificam. Ou seja, temos um novo sistema de coordenadas para os vetores em xy.[br][br]Você pode alterar a transformação modificando os valores das funções [math]x\left(u,v\right)[/math] e [math]y\left(u,v\right)[/math].[br][br]A derivada (matriz Jacobiana) é representada por [math]dT[/math] e, seu valor no ponto [math]\vec{a}[/math] é dado por [math]dT\left(\vec{a}\right)[/math]. Observe que, se a transformação é não linear, muito provavelmente o vetor [math]dT\left(\vec{a}\right)\cdot\vec{v}[/math] não está na mesma direção da diferença [math]T\left(\vec{a}+\vec{v}\right)-T\left(\vec{a}\right)[/math].[br][br]Procure por pontos em que a matriz Jacobiana tem determinante nulo e veja como a imagem da derivada se comporta. É provável que o vetor [math]dT\left(\vec{a}\right)\cdot\vec{v}[/math] não fique nem perto da diferença [math]T\left(\vec{a}+\vec{v}\right)-T\left(\vec{a}\right)[/math].