Im [url=https://www.geogebra.org/m/uj78cew6]vorhergehenden Kapitel[/url] können für eine Beispielfunktion die Extrempunkte und auch ein Sattelpunkt angezeigt werden. Bei Sattelpunkten ist die Steigung gleich Null, genau wie bei Extremstellen. Das heißt, wenn mit der [i]notwendigen Bedingung für Extremstellen[/i] die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnet werden, dann kann dort ein Hoch- oder ein Tiefpunkt, es [i]kann[/i] aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.[br][br]Wer aber nur Extrema berechnen möchte, der möchte keinen Sattelpunkt als Ergebnis. Glücklicherweise lässt sich mit weiteren kurzen Rechnungen ein Sattelpunkt von Extrempunkten unterscheiden.

Im Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/s676j5mk]Funktionen analysieren mit der zweiten Ableitungsfunktion[/url]" haben wir festgestellt, dass man mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion an jeder Stelle [math]x[/math] Aussagen über die Krümmungsrichtung des Funktionsgraphen machen kann: Hat [math]f''(x)[/math] an einer Stelle [math]x[/math] einen positiven Funktionswert, dann liegt dort eine Linkskrümmung des Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] vor, und umgekehrt.[br][br]Wer sich einen Funktionsgraphen mit Hoch- und Tiefpunkten ansieht, kann schnell herausfinden:[br][list][*]Bei [b]Hochpunkten[/b] hat der Funktionsgraph eine [color=#6aa84f][b]Rechtskrümmung[/b][color=#000000], also ist hier [math]f''(x)<0[/math][/color][/color][/*][*]Bei [b]Tiefpunkten[/b] hat der Funktionsgraph eine [b][color=#980000]Linkskrümmung[/color][/b], also ist hier [math]f''(x)>0[/math][br][/*][/list]

[b]Ist an einer Stelle [math]x_E[/math] die notwendige Bedingung für Extrema erfüllt, d.h. die erste Ableitungsfunktion ist gleich Null[/b], dann gilt:[br][list][*]Ist [math]f''(x_E)>0[/math], dann ist an der Stelle [math]x_E[/math] ein Tiefpunkt [/*][*]Ist [math]f''(x_E)<0[/math], dann ist an der Stelle [math]x_E[/math] ein Hochpunkt[/*][*]Ist [math]f''(x_E)=0[/math], dann [i][b]könnte[/b][/i] an dieser Stelle auch ein Sattelpunkt sein. In diesem Fall ist die hinreichende Bedingung [b]nicht erfüllt[/b] und es müssen weitere Untersuchungen durchgeführt werden. Glücklicherweise kommt dieser Fall nur selten vor.[br][/*][/list]

Diese hinreichende Bedingung ist nur dann notwendig, wenn die oben stehende, mit der zweiten Ableitung, nicht erfüllt ist, d.h. wenn [math]f'(x_E)=0[/math] [b]und[/b] [math]f''(x_E)=0[/math]. Dann kann diese Bedingung Sicherheit schaffen:[br][br]Vor einem Hochpunkt muss ein Funktionsgraph steigen, die Tangentensteigung ist also positiv. Hinter einem Hochpunkt muss ein Funktionsgraph fallen, die Tangentensteigung ist also negativ. Bei Tiefpunkten ist es umgekehrt. Daraus folgt: [b]Bei einer Extremstelle schneidet die erste Ableitungsfunktion die Abszisse[/b].[br][br]Bei Sattelpunkten ist das anders: Wenn der Funktionsgraph vor einem Sattelpunkt steigt, dann tut er das auch nach dem Sattelpunkt. Wenn er vor einem Sattelpunkt fällt, dann tut er das auch nach dem Sattelpunkt. Das heißt: [b]Bei einem Sattelpunkt berührt der Funktionsgraph der ersten Ableitung nur die Abszisse[/b].

Berechne alle Extrempunkte der Funktion [math]f(x)=x^3-3x^2-45x+10[/math]:[br][br][color=#980000][b]1. Notwendige Bedingung:[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{f'(x_E)=0}}[/math][br][b]Berechne die erste Ableitung[/b]: [math]f'(x)=3x^2-6x-45[/math][br][b]Berechne die Nullstellen von[/b] [math]f'(x)[/math]: [math]0=3x_E^2-6x_E-45[/math] [br]Mitternachtsformel: [math]x_{E1,2}=\frac{6\pm\sqrt{6^2-4\cdot3\cdot(-45)}}{2\cdot3}=\frac{6\pm\sqrt{576}}{6}=\frac{6\pm24}{6}[/math][br][math]\Rightarrow x_{E1}=-3[/math] und [math]x_{E2}=5[/math][br][b][color=#980000]2. Hinreichende Bedingung:[/color][/b] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{f''(x_E)}}[/math][br]Einsetzen der berechneten Stellen in die zweite Ableitung:[br][list][*]Berechnen der zweiten Ableitung: [math]f''(x)=6x-6[/math][/*][*][math]f''(x_{E1})=f(-3)=6\cdot(-3)-6=-24<0[/math] [math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein [b]Hochpunkt[/b][/*][*][math]f''(x_{E2})=f(5)=6\cdot5-6=24>0[/math] [math]\Rightarrow[/math] Hier ist ein [b]Tiefpunkt[/b][/*][/list][br][color=#980000][b]Berechnen der y-Koordinaten:[/b][/color] [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{f(x_E)}}[/math][br][math]f(x_{E1})=(-3)^3-3\cdot(-3)^2-45\cdot(-3)+10=91\quad\Rightarrow\underline{\underline{H\left(-3|91\right)}}[/math][br][math]f(x_{E2})=f(5)=5^3-3\cdot5^2-45\cdot5+10=-165\quad\Rightarrow\underline{\underline{T\left(5|-165\right)}}[/math][br][br][br]Im folgenden Applet kann das Berechnen von Extrema und Sattelpunkte geübt werden.[br]Es ist zwar untypisch, dass Extrem- und Sattelstellen alle bei ganzen Zahlen liegen, aber das vereinfacht hier die Rechnung etwas. Sehen Sie sich jeweils die Lösungen und die Grafen an [b][color=#980000]nachdem[/color][/b] Sie gerechnet haben:

Alles, was Sie in Geogebra eingeben oder was Geogebra ausgibt ist im weiteren [color=#0000ff]blau[/color] dargestellt.[br]Alles was [color=#22aa22]grün[/color] dargestellt ist, gehört in Ihre Dokumentation.[br]Gegeben ist die Funktion [math]f(x)=\frac 15\, x^5-x^4-\frac{13}{3}\, x^3+14\,x^2+60\,x-6[/math][br]- Gehen Sie in den [color=#0000ff]CAS-Modus[/color] von [color=#0000ff]Geogebra[/color][br]- Speichern Sie die Funktion als [color=#0000ff]f(x)[/color] ab, indem Sie die Funktion so, wie sie oben steht, abtippen. Dabei sollten Sie aber überall vorsichtshalber die Mal-Zeichen setzen:[br] [math]\fgcolor{#0000ff}{f(x)=\frac 15\cdot x^5-x^4-\frac{13}{3}\cdot x^3+14\cdot x^2+60\cdot x-6}[/math][br]Manchmal passieren uns Tipp-Fehler bei der Eingabe. Um zu überprüfen, dass wirklich die richtige Funktionsgleichung abgespeichert wurde, geben Sie einfach nur [color=#0000ff]f(x)[/color] ein. Dann wird Ihnen die Funktionsgleichung [math]\fgcolor{#0000ff}{=\frac 15\cdot x^5-x^4-\frac{13}{3}\cdot x^3+14\cdot x^2+60\cdot x-6}[/math] noch einmal angezeigt.[br][br] [color=#22aa22][b]Notwendige Bedingung f ' (x[sub]E[/sub])=0:[/b][/color][br]Berechnen Sie f'(x) und schreiben die Funktionsgleichung auf. Dazu geben Sie in Geogebra einfach [color=#0000ff]f'(x)[/color] ein. Sie erhalten dann:[br] [math]\fgcolor{#0000ff}{=x^4-4\,x^3-13\cdot x^2+28\cdot x+60}[/math][br]Diese Gleichung einmal in Ihren Lösungen dokumentieren: [br] [math]\fgcolor{#22aa22}{f'(x)= x^4-4\,x^3-13\cdot x^2+28\cdot x+60}[/math][br]Nullstellen von [math]f'[/math] berechnen: zu lösen ist [br] [math]0= x^4-4\,x^3-13\cdot x^2+28\cdot x+60[/math][br]Geogebra: [color=#0000ff]Löse(f'(x)=0)[/color] Sie erhalten dann eine Liste der Lösungen[br][color=#0000ff]={x=-2, x=3, x=5}[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22]Geogebra: Löse(f'(x)=0)[/color] [br]und: [math]\fgcolor{#22aa22}{\Rightarrow}[/math] [color=#22aa22][b]x[sub]E1[/sub]=-2[/b], [b]x[sub]E2[/sub]=3[/b] und [b]x[sub]E3[/sub]=5[/b][/color][br]Das ist die mathematisch richtige Schreibweise für die Lösungen.[br][br][color=#22aa22][b]Hinreichende Bedingung f ' ' (x[sub]E[/sub]): [/b] [/color][br]Für die hinreichende Bedingung brauchen wir die zweite Ableitungsfunktion f''(x):[br]Eingabe in Geogebra: [color=#0000ff]f''(x)[/color] und Sie erhalten als Ergebnis[br] [math]\fgcolor{#0000ff}{= 4\,x^3-12\,x^2-26\,x+28}[/math][br]Diese Gleichung notieren Sie in Ihrer Dokumentation.[br]Also: [math]\fgcolor{#22aa22}{f''(x)= 4\,x^3-12\,x^2-26\,x+28}[/math][br]Nun setzen Sie die x[sub]E[/sub] ein:[br]Eingabe: [color=#0000ff]f''(-2)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=0[/color][br]In Ihre Lösungsdokumentation schreiben Sie [color=#22aa22][b]f''(-2)=0[/b] [/color][math]\fgcolor{#22aa22}{\Rightarrow}[/math] [color=#22aa22]Die hinreichende Bedingung ist [b]nicht erfüllt[/b].[b] Bei x=-2 ist vermutlich ein Sattelpunkt.[/b][/color][br]Eingabe: [color=#0000ff]f''(3)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=-50[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22][b]f''(3)=-50 < 0[/b] [/color][math]\fgcolor{#22aa22}{\Rightarrow}[/math] [color=#22aa22] Hinreichende Bedingung erfüllt, [b]bei x=3 ist ein Hochpunkt[/b][/color][br]Eingabe: [color=#0000ff]f''(5)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=98[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22] [b]f''(5)=98 > 0[/b] [/color][math]\fgcolor{#22aa22}{\Rightarrow}[/math] [color=#22aa22] Hinreichende Bedingung erfüllt, [b]bei x=5 ist ein Tiefpunkt[/b][/color][br][br][color=#22aa22][b]Berechnen der y-Koordinaten f (x[sub]E[/sub]): [/b][/color][br]Eingabe: [color=#0000ff]f(-2)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=-57.7333[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22][b]f(-2)=-57,7333 [/b] Die Koordinaten des Sattelpunktes sind [b]S(-2 | -57,7333)[/b][/color][br]Eingabe: [color=#0000ff]f(3)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=150.6[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22][b]f(3)=150,6 [/b] Die Koordinaten des Hochpunktes sind [b]H(3 | 150,6)[/b][/color][br]Eingabe: [color=#0000ff]f(5)[/color] , Ausgabe: [color=#0000ff]=102.333[/color][br]Dokumentation: [color=#22aa22][b]f(5)=102,33 [/b] Die Koordinaten des Tiefpunktes sind [b]T(5 | 102,33)[/b][/color]