Anna und Max spielen das Spiel "Überwurf". Dabei wirft der Spieler zuerst einen Würfel. Bei einer 3 oder 6 darf er eine Münze werfen. Bei Kopf bekommt er einen Preis.
Passt das Baumdiagramm zur Aufgabe?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man beim Spiel Überwurf?
Beim Spiel mitzumachen kostet einen Euro. Wann ist das Spiel fair? [br]Ein Spieler gewinnt wahrscheinlich in jeder sechsten Runde. Er sollte also 6 Euro im Siegesfall ausgezahlt bekommen. Das heißt:[br][br]Wenn der Preis über 6 Euro liegt, machen die beiden auf lange Sicht Verlust. Wenn der Preis unter 6 Euro liegt, machen sie auf lange Sicht Gewinn. Fair ist es nur bei genau 6 Euro Gewinn. [br][br]Das sieht man auch am folgenden Graphen: [math]f\left(x\right)=-1+\frac{1}{6}x[/math][br]Das setzt sich so zusammen: Der Gewinn = -1 Euro (der Einsatz) + den Hauptpreis x, den man aber nur zur Wahrscheinlichkeit [math]\frac{1}{6}[/math] bekommt.
Tim und Günther haben sich das Spiel "Multischorle" ausgedacht: [br][br]Der Spieler muss ein Glücksrad mit den Farben rot, gelb und grün drehen. Landet es auf gelb, darf er würfeln, bei grün eine Münze werfen. Bei Kopf oder bei einer sechs gewinnt der Spieler. [br]Es soll zwei Euro kosten, beim Spiel mitzumachen. Gewinnt man, bekommt man 5 Euro.[br]Lohnt sich das Spiel für Tim und Günther?[br][br]Gehen wir ganz langsam der Reihe nach durch! Betrachten wir als erstes das Baumdiagramm:
Man gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von...
Das heißt übersetzt, wenn man neun Spiele spielt, gewinnt man davon nur zwei. Soll das Spiel fair sein, dann muss der Gewinn deutlich höher sein als der Einsatz. Wie ist es hier? [br][br]Wir berechnen:[br][br]Gewinn = Auszahlung - Einsatz. Den Einsatz kennen wir aus dem Text - es sind 2 Euro.[br]Die Auszahlung kennen wir auch, nämlich 5 Euro. Mit der Gewinnwahrscheinlichkeit erhalten wir: [br][br][math]G=5\cdot\frac{4}{18}-2=-\frac{8}{9}\text{ }[/math] Das sind also rund 89 Cent Verlust pro Runde. Also: Wie wäre das Spiel fair?[br][br]Fair ist es, wenn der Gewinn 0 ist. Dann gilt: [math]0=x\cdot\frac{4}{18}-2[/math] Wir stellen um und erhalten [math]2=x\cdot\frac{4}{18}[/math]. [br]Das bedeutet [math]x=9[/math].[br][br]Wenn sie 9 Euro bei einem Sieg auszahlen, wird es zu einem fairen Spiel![br][br]