[b][size=150][size=200]Betydning af konstanterne A, b, c og d for den harmoniske svingning.[/size][/size][/b][br][br]I denne animation skal du undersøge den [b]harmoniske svingning[/b] med forskriften [math]f\left(x\right)=A\cdot\sin\left(b\cdot x+c\right)+d[/math]. Nærmere bestemt skal du undersøge betydningen af konstanterne [math]A,b,c[/math] og [math]d[/math] for grafens udseende.[br][br]Animationen er vist under spørgsmålene.[br]Den blå graf er grafen for den ''rene'' sinusfunktion [math]\sin\left(x\right)[/math].[br]Skriv dine iagttagelser ned og prøv at formulere dem som matematiske sætninger. F.eks.: "Når [math]A[/math] bliver større, så ...".[br]Forklar også hvordan man aflæser konstanterne: ''Man bestemmer [math]A[/math] ved at ...''
Hvilken betydning har [math]A[/math] i [math]A\cdot\sin\left(x\right)[/math] for grafens udseende, og hvordan kan [math]A[/math] aflæses ud fra grafen?
Grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math] svinger fra 1 under til 1 over sit udgangsniveau (midten af svingningen).[br]Når [math]A[/math] er ganges på, svinger den i stedet fra [math]-A[/math] til [math]+A[/math] i forhold til udgangsniveauet.[br]Altså bliver udsvinget [math]A[/math] gange større.[br][br][math]A[/math] kan bestemmes ved at aflæse størrelsen af udsvinget i forhold til udgangsniveauet.
Hvilken betydning har [math]b[/math] i [math]\sin\left(b\cdot x\right)[/math] for grafens udseende, og hvordan kan [math]b[/math] aflæses ud fra grafen?
Grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math] svinger én hel svingning (op og ned og tilbage til start) på et interval med længden [math]2\cdot\pi[/math] på 1. aksen.[br]Når [math]b[/math] ganges på [math]x[/math], så svinger grafen i stedet fra [math]b[/math] gange på et interval med længden [math]2\cdot\pi[/math] på 1. aksen.[br][br][math]b[/math] kan aflæses ved at tælle antallet af [b]hele[/b] svingninger på et interval med længden [math]2\cdot\pi[/math] på 1. aksen.[br][br][b]Ekstra:[/b][br]Måske kender du perioden [math]T[/math] for en bølge fra fysik. Så kan du se på figuren, at perioden for den harmoniske svingning er [math]T=\frac{2\cdot\pi}{b}[/math].
Hvilken betydning har [math]c[/math] i [math]\sin\left(x+c\right)[/math] for grafens udseende, og hvordan kan [math]c[/math] aflæses ud fra grafen?
Grafen for [math]\sin\left(x+c\right)[/math] er parallelforskudt med [math]-c[/math] langs 1. aksen i forhold til grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math].[br][br][math]c[/math] kan aflæses ved at se, hvor langt grafen er forskudt i negativ retning langs 1. aksen (mod venstre) i forhold til grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math].[br][br][b]Ekstra:[/b][br]Du kender det måske fra sætningen om parallelforskydning, hvor det gælder, at hvis [math]g\left(x\right)=f\left(x-p\right)[/math], så er grafen for [math]g[/math] parallelforskudt med [math]p[/math] langs 1. aksen i forhold til grafen for [math]f[/math] (bemærk det modsatte fortegn).
Hvad betyder [math]d[/math] i [math]\sin\left(x\right)+d[/math], og hvordan kan [math]d[/math] aflæses ud fra grafen?
Grafen for [math]\sin\left(x\right)+d[/math] er parallelforskudt med [math]d[/math] langs 2. aksen i forhold til grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math].[br][br][math]d[/math] kan aflæses grafisk ved at se, hvor langt grafen er forskudt i positiv retning langs 2. aksen (op ad) i forhold til grafen for [math]\sin\left(x\right)[/math].[br][br][b]Ekstra:[/b][br]Du kender det måske fra sætningen om parallelforskydning, hvor det gælder, at hvis [math]g\left(x\right)=f\left(x\right)+k[/math], så er grafen for [math]g[/math] parallelforskudt med [math]k[/math] langs 2. aksen i forhold til grafen for [math]f[/math].
[b][size=200]Aflæs konstanterne fra grafen[/size][/b][br]I opgave 1 fik du styr på betydningen af konstanterne [math]A,b,c[/math] og [math]d[/math] i [math]A\cdot\sin\left(b\cdot x+c\right)+d[/math], og hvordan du aflæser [math]a,b,c[/math] og [math]d[/math] ud fra grafen.[br]I denne opgave skal du se på grafen og bestemme forskriften.[br]Der er 4 mulige forskrifter [math]A\cdot\sin(x)[/math], [math]\sin(b\cdot x)[/math], [math]\sin(x+c)[/math] og [math]\sin\left(x\right)+d[/math]. Værdien af [math]a,b,c[/math] eller [math]d[/math] skal du aflæse på grafen.[br][b]HINT: [/b]Du kan finde flere instruktioner i videoen nedenunder opgaven![br][br][i]Du får en ny opgave ved at trykke på knappen [/i]Ny funktion. [i]Gentag til, du føler, du har godt styr på dem alle.[/i]
[b][size=200]Modellering af tidevand med den harmoniske svingning[/size][br]HINT: [/b]Du kan få hjælp til opgaven ved at se videoen nedenfor! [br]En oplagt anvendelse af den harmoniske svingning, altså funktionen med forskrift af typen [math]A\cdot\sin(bx+c)+d[/math] er modellering af [url=http://www.rummet.dk/solsystemet/jorden/scene2.swf/view]tidevand[/url], som netop varierer periodisk.
Opstil ud fra punkterne en model (funktionsforskrift) for tidevandet. Forskriften skriver du i feltet til højre. Du rammer næppe rigtigt i første forsøg.[br]For at kunne løse opgaven helt dvs. tegne en graf som går gennem de 4 punkter, skal du vide, at der sker skift fra høj- til lavvande og tilbage til højvande på 12 timer og at [math]b=\frac{2\pi}{T}[/math] hvor [math]T[/math] er perioden som altså er 12 timer for tidevand.
Funktionen vil være anderledes på en anden lokalitet. Hvilke størrelser tror du vil ændre sig?
Ifølge modellen er vandstanden altid den samme ved høj og lavvande, men det er jo ikke altid tilfældet. Nævn mindst et forhold der [i]ikke[/i] er taget hensyn til i modellen.
Du kan se en forklaring på ...[br]Månens effekt her: [url=https://projekter.au.dk/havet/forloeb/forloebsoversigt/havets-energi/tidevand/tidevand-opstaar]https://projekter.au.dk/havet/forloeb/forloebsoversigt/havets-energi/tidevand/tidevand-opstaar[br][/url]Solen og månes effekt her: [url=https://kyst.dk/kyster-og-klima/kystdynamik/tidevand/]https://kyst.dk/kyster-og-klima/kystdynamik/tidevand/[/url][br]og så kan der også være en effekt fra vinden som beskrevet her: [url=https://www.dmi.dk/index.php?id=746&L=0]https://www.dmi.dk/index.php?id=746&L=0[/url]