Una de las formas de la expresión que define una recta en el plano es la [b]ecuación general Ax + By + C = 0[/b]. Esta expresión recibe el nombre de [b]ecuación lineal con dos variables[/b].[br][br][b]Sistema de ecuaciones lineales 2 x 2[br][br][/b]Es un sistema formado por dos ecuaciones lineales con dos variables cada una.[br][br]Como una ecuación lineal con dos variables representa una recta en el plano, [b]resolver un sistema de ecuaciones 2 x 2 [/b]es encontrar las parejas ordenadas [b](x,y)[/b] que satisfacen a las dos ecuaciones, o lo que es lo mismo, los puntos comunes a las dos rectas.[br][br]Se pueden tener 3 casos:[br][br][b]a) El sistema tiene solución única.[/b] El sistema tiene solamente una solución, una sola pareja (x,y), que satisface a las dos ecuaciones. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones [b]son secantes[/b] y por lo tanto [b]se cortan en un solo punto[/b]. Las dos rectas tienen un sólo punto en común.[br][br][b]b) El sistema no tiene solución. [/b] No existe una pareja (x,y) que satisfaga a las dos ecuaciones. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones [b]son paralelas[/b] y por lo tanto [b]no se cortan.[/b] Las dos rectas no tienen puntos en común.[br][br][b]c) El sistema tiene infinitas soluciones. [/b]Las dos ecuaciones son equivalentes, por lo tanto, toda pareja (x,y) que satisface a una de las dos ecuaciones, satisface también a la otra. Las rectas correspondientes a las dos ecuaciones [b]coinciden[/b], es decir, [b]son sólo una recta.[/b] Cada uno de los puntos de esa recta es una solución del sistema.

[b]Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2[br][br][/b]Normalmente se tienen 5 métodos.[br][br]1. Método gráfico[br]2. Método sustitución[br]3. Método igualación [br]4. Método reducción, eliminación o suma y resta[br]5. Método determinantes[br][br][b]Método gráfico[br][br][/b]Se representan en el mismo plano cartesiano las dos ecuaciones y por observación, se determina el punto de intersección. Ese punto (x,y) es la solución del sistema.[br][br]Como se sabe, una recta se puede definir con tres expresiones diferentes (ecuación normal, ecuación general, ecuación simétrica) pero para simplificar este resumen, se va a trabajar dando la ecuación en [b]forma general Ax + By + C = 0[/b].[br][br]Se presentan dos applets:[br]En el primero, además del punto solución del sistema se muestra tabla de valores correspondiente a los interceptos con los ejes coordenados.[br]En el segundo se muestra la solución y la pendiente de las dos rectas. Además permite dar las ecuaciones de dos formas diferentes, [b]ax + by + c = 0[/b] y [b]ax + by = c[/b]. Esta forma de la ecuación es la que se utiliza en el método de determinantes.

[b]Nota:[/b] Utilice el applet para explorar sistemas 2 x 2 que correspondan a rectas paralelas, a rectas coincidentes, a rectas secantes o a rectas perpendiculares.[br][br]Recuerde que la pendiente de la recta con ecuación [b]Ax + By + C = 0[/b] es [b]m = -A/B[/b].[br][br]- Si [math]-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2}[/math] las dos rectas son [b]paralelas[/b]. Esto se logra cuando los coeficientes [b]A[/b] y [b]B[/b] son respectivamente iguales o si son respectivamente múltiplos entre sí.[br]La ecuaciones [b]2[/b]x + [b]5[/b]y - 3 = 0 y [b]2[/b]x + [b]5[/b]y + 1 = 0 representan rectas paralelas.[br]También son paralelas las rectas cuyas ecuaciones son [b]3[/b]x + [b]4[/b]y - 8 = 0 y [b]9[/b]x + [b]12[/b]y + 1 = 0.[br][br]- Si los coeficientes [b]A[/b], [b]B[/b] y [b]C[/b] son respectivamente proporcionales, las dos rectas son [b]coincidentes[/b]. Esto se logra cuando los coeficientes de una son múltiplos respectivos de la otra. [br]Ejemplo. Las ecuaciones [b]2[/b]x + [b]3[/b]y - [b]5[/b] = 0 y [b]4[/b]x + [b]6[/b]y - [b]10[/b] = 0 son coincidentes. La razón de proporcionalidad es 2.[br][br]- Si [math]-\frac{A_1}{B_1}\ne-\frac{A_2}{B_2}[/math][sub] [/sub]las dos rectas son [b]secantes[/b]. Ejemplo, [b]3[/b]x + [b]5[/b]y - 3 = 0 y [b]-3[/b]x + [b]5[/b]y + 1 = 0[br][br]- Si [math]\frac{A_1}{B_1}=-\frac{1}{\frac{A_2}{B_2}}[/math] las dos rectas son [b]perpendiculares[/b]. Escrito de otra manera, [math]\frac{A_1}{B_1}=-\frac{B_2}{A_2}[/math] [br]Un ejemplo, [b]3[/b]x + [b]2[/b]y - 3 = 0 y [b]2[/b]x - [b]3[/b]y + 5 = 0

[b] Método sustitución[br][br][/b]Se ilustra el método con un ejemplo. [math]E_1:-2x+y+4=0[/math] [br] [math]E_2:x+4y-11=0[/math] [br]Procedimiento:[br]a) Se despeja una de las variables en una cualquiera de las ecuaciones.[br] De [b]E[sub]1[/sub][/b] se despeja [b]x[/b]. Se obtiene la ecuación [b]E[sub]3[/sub][/b] [br] [math]-2x=-y-4[/math] [br] [math]x=\frac{-y-4}{-2}[/math] [br] [math]x=\frac{y+4}{2}\Longleftarrow E_3[/math][br]b) Se reemplaza [b]E[sub]3[/sub][/b] en [b]E[sub]2[/sub][/b]. Se obtiene la ecuación [b]E[sub]4[/sub][/b]. [math]\left(\frac{y+4}{2}\right)+4y-11=0\Longleftarrow E_4[/math] [br] Obsérvese que la ecuación [b]E[sub]4[/sub][/b] es una ecuación de primer grado con una sola incógnita.[br][br]c) Se resuelve la ecuación [b]E[/b][sub]4[/sub]. [math]\frac{y+4+8y-22}{2}=0[/math] [br] [math]9y-18=0[/math] [br] [math]y=2[/math] [br][br]d) Se reemplaza el valor obtenido de [b]E[sub]4[/sub][/b] en [b]E[sub]3[/sub][/b] y se resuelve.[br] [math]x=\frac{\left(2\right)+4}{2}[/math] [br] [math]x=3[/math] [br]Solución del sistema: [b]x = 3[/b] [b]y = 2 P[sub]s[/sub] = (3 , 2)[br][br][/b]Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.

[b]Método igualación[br][br][/b]Se ilustra el método con un ejemplo. [math]E_1:4x-3y-10=0[/math] [br] [math]E_2:3x+2y+1=0[/math] [br]Procedimiento: [br][br]a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Se obtienen [b]E[sub]3[/sub] y E[sub]4[/sub][/b]. [br] [math]x=\frac{3y+10}{4}\Longleftarrow E_3[/math] [br] [math]x=\frac{-2y-1}{3}\Longleftarrow E_4[/math] [br][br]b) Se iguala el miembro de la derecha de [b]E[sub]3[/sub][/b] con el correspondiente de [b]E[sub]4[/sub][/b]. Se obtiene [b]E[sub]5[/sub][/b]. [br] [math]\frac{3y+10}{4}=\frac{-2y-1}{3}\Longleftarrow E_5[/math] [br]La ecuación [b]E[/b][sub]5[/sub] es de primer grado con una incógnita.[br][br]c) Se resuelve la ecuación [b]E[sub]5[/sub][/b]. [br] [math]3\left(3y+10\right)=4\left(-2y-1\right)[/math] [br] [math]9y+30=-8y-4[/math] [br] [math]y=-2[/math] [br][br]d) Se reemplaza el valor obtenido de [b]E[sub]5[/sub][/b] en una cualquiera de las ecuaciones [b]E[sub]1[/sub][/b], [b]E[sub]2[/sub][/b], [b]E[sub]3[/sub][/b] o [b]E[sub]4[/sub][/b] y se resuelve.[br] En la ecuación [b]E[sub]1[/sub][/b], [math]4x-3\left(-2\right)-10=0[/math] [br] [math]4x+6-10=0[/math] [br] [math]x=1[/math][br][br]Solución del sistema: [b]x = 1 [/b][b]y = -2 P[sub]s[/sub] = (1 , -2)[br][br][/b]Verifique en el applet la solución gráfica de este sistma.

[b]Método reducción, eliminación o suma y resta[/b][b][math][/math][/b][br][br]Se ilustra el método con un ejemplo. [math]E_1:3x-7y+2=0[/math] [br] [math]E_2:-2x+y-5=0[/math] [br]Procedimiento:[br][br]a) Se transforman las ecuaciones [b]E[sub]1[/sub][/b] y [b]E[/b][b][sub]2[/sub][/b] de tal manera que los coeficientes de [b]x[/b] sean iguales pero de signo contrario. Se suman las ecuaciones [b]E[sub]3[/sub][/b] y [b]E[/b][b][sub]4[/sub][/b] y se cancela una de las incógnitas, en este caso, [b]x[/b]. Se obtiene la ecuación [b]E[sub]5[/sub][/b] .[br] [math]E_1\cdot\left(2\right)\Longrightarrow3x-7y+2=0[/math] [math]6x-14y+4=0\Longleftarrow E_3[/math][br] [math]E_2\cdot\left(3\right)\Longrightarrow-2x+y-5=0[/math] [math]-6x+3y-15=0\Longleftarrow E_4[/math] [br] [math]\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore\underscore[/math] [br] [math]-11y-11=0\Longleftarrow E_5[/math] [br]b) Se resuelve la ecuación [b]E[sub]5[/sub][/b]. [math]-11y=11[/math][br] [math]y=-1[/math] [br]c) Se reemplaza el valor obtenido de [b]E[sub]5[/sub][/b] en una cualquiera de las dos ecuaciones originales y se resuelve.[br] En la ecuación [b]E[sub]1[/sub][/b], [math]3x-7\left(-1\right)+2=0[/math] [br] [math]3x=-9[/math] [br] [math]x=-3[/math] [br][br]Solución del sistema: [b]x = -3[/b] [b]y = -1 P[sub]s[/sub] = (-3 , -1)[br][br][/b]Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.

[b]Método determinantes[br][br][/b]Se ilustra el método con un ejemplo. [math]E_1:5x-4y+3=0[/math] [br] [math]E_2:3x+2y-7=0[/math] [br][br]a) Se ordenan las ecuaciones en la forma [b]ax + by = c[/b]. [br][br] La ecuación [b]E[sub]1[/sub][/b] tendrá la forma [b]a[sub]1[/sub][/b]x + [b]b[sub]1[/sub][/b]y = [b]c[sub]1[/sub][/b][br] La ecuación [b]E[sub]2[/sub][/b] tendrá la forma [b]a[sub]2[/sub][/b]x + [b]b[sub]2[/sub][/b]y = [b]c[/b][sub]2[/sub]b) Se aplica la regla de Cramer:[br][br]Antes de aplicar la regla de Cramer, se refuerzan los conceptos de [b]matriz[/b] y [b]determinante de una matriz:[/b]

Solución del sistema: [b]x = 1 [/b][b]y = 2 P[sub]s[/sub] = (-3 , -1)[br][br][/b]Verifique en el applet la solución gráfica de este sistema.