Drohnen im dreidimensionalen Raum
Drohnenlightshows finden in den vergangenen Jahren immer häufiger in großen Metropolen als Alternative zu einem Feuerwerk statt. Dabei wird im Vergleich zu einem Feuerwerk nicht nur die Umwelt geschont, sondern es ergeben sich auch beeindruckende tolle neue Möglichkeiten. Der Fantasie sind kaum Grenzen gesetzt. Hier kann man eine Show zum Nationalfeiertag der USA am 4. Juli 2023 sehen, bei der ein neuer Weltrekord aufgestellt wurde: [url]https://www.youtube.com/watch?v=zdOTV2RH9IY[/url] Die Bewegung und Darstellung von Bildern im dreidimensionalen Raum soll mit den folgenden Arbeitsblättern verstanden werden. Es sollen grundlegende Kenntnisse über die mathematische Darstellung von Punkten im dreidimensionalen Raum untersucht und beschrieben werden.
Table of Contents
- Das dreidimensionale Koordinatensystem
- Das dreidimensionale Koordinatensystem
- Punkte im Raum
- Punkte im Raum
- Deine erste Drohnenshow
- Vektoren im Raum
- Ortsvektoren
- Drohnenflug im zweidimensionalen Raum
- Drohnenflug im dreidimensionalen Raum
- Skalarmultiplikation
- Drohnenfeuerwerk 2.0
- Das pulsierende Herz
Das dreidimensionale Koordinatensystem
Koordinatenachsen
Im dreidimensionalen Koordinatensystem werden die Achsen des bekannten Koordinatensystems um eine weitere Achse ergänzt, die senkrecht auf den bekannten Achsen liegt.[br]Die Achsen werden entweder mit x, y und z oder häufig auch mit [math]x_1[/math], [math]x_2[/math] und [math]x_3[/math] bezeichnet.[br][br]Eine Ebene bezeichnet eine unendlich große ebene Fläche im dreidimensionalen Raum.[br]Durch anklicken der Kästen links kann man drei besondere Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem anzeigen lassen.[br][br][b][u]Aufgaben[/u][/b][br][list=1][*]Beschreiben Sie die Lage der Ebenen im Koordinatensystem.[/*][*]Welche Ebene wurde als bisheriges Koordinatensystem genutzt.[/*][/list]
Punkte im Raum
Mit der Maus lässt sich der Punkt A parallel zur x-y-Ebene im Koordinatensystem verschieben.[br]Wird der Punkt einmal angeklickt, lässt er sich auch parallel zur z-Achse verschieben.[br][br]Betrachten Sie die Koordinaten des Punkt A.[br]Verschieben Sie den Punkt A in die[br][list][*]x-y-Ebene[/*][*]x-z-Ebene[/*][*]y-z-Ebene[/*][/list]und geben Sie jeweils die Koordinaten des Punktes an.
Ortsvektoren
Jeder Punkt im Raum kann auch durch einen Ortsvektor dargestellt werden.[br]Diese Ortsvektoren beschreiben gewissermaßen den Weg zu einem Punkt.[br][br]Sie werden im Koordinatensystem als Pfeile dargestellt, besitzen also einen vorgegebenen Start- und Endpunkt, sowie eine Richtung. Ortsvektoren beginnen immer im Ursprung.
Drohnenfeuerwerk 2.0
Das simulierte Feuerwerk soll noch etwas spektakulärer werden.[br]Dafür soll ein zweiter Kreis von Drohnen um den selben Mittelpunkt, aber mit halben Radius positioniert werden.
Aufgaben
[u]Aufgabe 1[/u][br]Die Drohne D[sub]5[/sub] des ersten Kreises befindet sich am Punkt (2,8; 1; 5). Vom Mittelpunkt M (2,8; 0; 5) hat sie sich über den Vektor [math]\vec{v_5}[/math] (0; 1; 0) dorthin bewegt.[br][list][*]Bestimmen Sie die Position D'[sub]5 [/sub]der Drohne des neuen Feuerwerkkreises.[/*][*]Bestimmen Sie auch den Vektor [math]\vec{u_2}[/math], den diese Drohne vom Kreismittelpunkt aus entlang fliegt.[/*][/list][br][u]Aufgabe 2[/u] [br]Überlegen Sie sich, wie allgemein vom Vektor [math]\vec{v}[/math] des größeren Kreises auf den Vektor [math]\vec{u}[/math] des kleineren Kreises geschlossen werden kann.[br][br][u]Aufgabe 3[br][/u]Die Drohne D[sub]6[/sub] fliegt vom Mittelpunkt über den Vektor [math]\vec{v_6}[/math] (0,1; 0,97; -0,26) zu ihrer Position.[list][*]Bestimmen Sie den Vektor [math]\vec{u_6}[/math], den die neue Drohne D'[sub]6 [/sub]vom Kreismittelpunkt aus entlang fliegt.[/*][*]Bestimmen Sie die Position D'[sub]6 [/sub]der Drohne des neuen Feuerwerkkreises.[/*][/list]
[url=https://www.geogebra.org/3d/vuyye4ke]Link zum QR-Code[/url][br](Im Browser Safari gedrückt halten und „In 3D Rechner öffnen“ drücken.)