[b]Parábola[/b] es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo llamado [b]foco[/b] es igual a su distancia a una recta fija llamada [b]directriz[/b]: [b]distancia FB = distancia BA[/b].[br][br]Se muestran a continuación 4 imágenes de parábola:[br][br]1.a. Parábola convexa. Las ramas abren hacia arriba. Eje de simetría vertical.[br][br]1.b. Parábola cóncava. Las ramas abren hacia abajo. Eje de simetría vertical.[br][br]2.a. Parábola horizontal, ramas abren hacia la derecha. Eje de simetría horizontal.[br][br]2.b. Parábola horizontal, ramas abren hacia la izquierda. Eje de simetría horizontal.

[b]Elementos de la parábola[/b].[b][br][br]Vértice, V = (h, k)[/b]: Es el punto extremo de la gráfica. También es el punto de intersección de la parábola y el [b]eje focal[/b] o [b]eje de simetría[/b].[br][br][b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es la recta que divide a la parábola en dos mitades congruentes. Pasa por el [b]vértice[/b] y por el [b]foco[/b].[br][br][b]Foco, F[/b]: Es el punto fijo de la parábola. Está ubicado sobre el eje focal a una distancia del vértice igual al [b]parámetro p[/b].[br]Las coordenadas del foco dependen de las coordenadas del vértice, del parámetro y de la orientación de la parábola.[br][br][b]Parámetro, p[/b]: Es la distancia entre el [b]foco[/b] y el [b]vértice[/b] o entre el [b]vértice[/b] y la [b]directriz[/b]. Su valor siempre es positivo porque es una distancia. [br][br][b]Directriz[/b]: Es una recta perpendicular al eje focal a una distancia del vértice, igual al [b]parámetro p[/b]. [br][br][b]Radio vector, BF[/b]: Es cada uno de los segmentos que unen el [b]foco[/b] con un punto cualquiera de la parábola. Por definición, el segmento [b]BA[/b] tiene igual medida que el radio vector.[br][br][b]Lado recto, MN[/b]: Es el segmento paralelo a la directriz y pasa por el foco. Los extremos [b]M[/b] y [b]N[/b] son puntos opuestos de la parábola. Su longitud es [b]4p[/b]. [br][br]A continuación se presentan 4 applets, uno para cada orientación de la parábola.

[b]Actividades:[br][br]1. Applet 1.a. Parábola convexa (ramas hacia arriba)[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola convexa (ramas hacia arriba) con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b] x = h[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h, k + p)[/b]. El foco se ubica por encima del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b]y = k - p[/b]. La directriz se ubica por debajo del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es positivo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]x^2=4py[/math].

[b]2. Applet 1.b. Parábola cóncava (ramas hacia abajo)[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola cóncava (ramas hacia aabajo) con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b] x = h[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h, k - p)[/b]. El foco se ubica por debajo del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b]y = k + p[/b]. La directriz se ubica por encima del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(x-h\right)^2=-4p\left(y-k\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es negativo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]x^2=-4py[/math]

[b]3. Applet 2.a. Parábola horizontal, ramas hacia la derecha[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola horizontal, ramas hacia la derecha con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b] y = k[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h + p, k)[/b]. El foco se ubica a la derecha del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b]x = h - p[/b]. La directriz se ubica a la izquierda del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es positivo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]y^2=4px[/math]

[b]4. Applet 2.a. Parábola horizontal, ramas hacia la izquierda[/b].[br][br]Manipule los elementos interactivos del applet. El objetivo es generar la parábola.[br][br]Para generar la parábola haga clic en el botón [b]Activar rastro de B[/b] y a continuación, arrastre el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b]. [br][br]Para modificar la parábola, [b]desactive rastro de B[/b] y [b]borrar rastro[/b]. A continuación modifique los valores [b]h[/b], [b]k[/b] y [b]p[/b].[br][br][b]Características especiales de la parábola horizontal, ramas hacia la izquierda con vértice V = (h, k)[/b]:[br][br]a. [b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es una recta horizontal, paralela al eje X. Cumple la fórmula [b] y = k[/b]. Pasa por el vértice y por el foco.[br][br]b. [b]Coordenadas del Foco[/b]: Cumple la fórmula [b]F = (h - p, k)[/b]. El foco se ubica a la izquierda del vértice.[br][br]c. [b]Ecuación de la directriz[/b]: Es una recta vertical, paralela al eje Y. Cumple la fórmula [b]x = h + p[/b]. La directriz se ubica a la derecha del vértice.[br][br]d. [b]Ecuación canónica de la parábola[/b]: Es una expresión de la forma [math]\left(y-k\right)^2=-4p\left(x-h\right)[/math]. El signo del coeficiente [b]4p[/b] siempre es negativo.[br][br]Cuando el vértice de la parábola está en el origen, [b]V = (0, 0)[/b], la ecuación canónica es [math]y2=-4px[/math].

[b]5. Applet para construir una parábola con eje focal vertical[/b].[br][br]Para construir la parábola se dan las coordenadas [b]h,[/b] [b]k[/b] del vértice y el valor del parámetro [b]p[/b].[br][br]Utilice el deslizador [b]PasoN[/b] para observar las instrucciones sucesivas necesarias para la construcción y haga uso de las herramientas disponibles.[br][br]Para utilizar la barra de entrada, sólo es necesario escribir la instrucción o comando dado en los pasos 2 y 6.[br][br]En el [b]paso 2[/b] para dibujar el foco, en la [b]barra de entrada [/b]escribir [b]F=(h,k+p)[/b] o [b]F=(h,k-p)[/b]. El punto que se dibuja recibe el nombre de [b]F[/b] y toma las coordenadas [b]h[/b], [b]k[/b] definidas con los deslizadores o casillas de entrada respectivas.[br][br]En el [b]paso 6[/b] para activar el rastro del punto [b]B[/b], escribir [b]Rastro(B,true)[/b] y para desactivar el rastro, escribir [b]Rastro(B,false)[/b]. El punto [b]B[/b] es el punto de la parábola.[br][br]Para generar la parábola, [b]arrastre[/b] el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b].[br][br]Para borrar el rastro mueva el plano cartesiano.

[b]6. Applet para construir una parábola con eje focal horizontal[/b].[br][br]Para construir la parábola se dan las coordenadas [b]h,[/b] [b]k[/b] del vértice y el valor del parámetro [b]p[/b].[br][br]Utilice el deslizador [b]PasoN[/b] para observar las instrucciones sucesivas necesarias para la construcción y haga uso de las herramientas disponibles.[br][br]Para utilizar la barra de entrada, sólo es necesario escribir la instrucción o comando dado en los pasos 2 y 6.[br][br]En el [b]paso 2[/b] para dibujar el foco, en la [b]barra de entrada [/b]escribir [b]F=(h+p,k)[/b] o [b]F=(h-p,k)[/b]. El punto que se dibuja recibe el nombre de [b]F[/b] y toma las coordenadas [b]h[/b], [b]k[/b] definidas con los deslizadores o casillas de entrada respectivas.[br][br]En el [b]paso 6[/b] para activar el rastro del punto [b]B[/b], escribir [b]Rastro(B,true)[/b] y para desactivar el rastro, escribir [b]Rastro(B,false)[/b]. El punto [b]B[/b] es el punto de la parábola.[br][br]Para generar la parábola, [b]arrastre[/b] el punto [b]A[/b] sobre la [b]directriz[/b].[br][br]Para borrar el rastro mueva el plano cartesiano.

Responda las preguntas [b]7[/b] a [b]10 [/b] con base en las figuras [b]1.a[/b], [b]1.b[/b], [b]2.a[/b] y [b]2.b [/b]que se muestran al inicio de eta lección.

Una parábola tiene por ecuación [math]\left(y-1\right)^2=8\left(x+3\right)[/math]. Responda las preguntas [b]11[/b] a [b]14[/b] de acuerdo con la información contenida en esa ecuación.

[b]15.[/b] Explore las siguientes actividades del mismo autor:[br]- Parábola: Definición, gráfica y ecuaciones, https://www.geogebra.org/m/r5cfabrw[br]- Antena parabólica, https://www.geogebra.org/m/ryvb5mgr[br]- Función cuadrática y cúbica, https://www.geogebra.org/m/cjzfnycw[br]- Ecuación general de segundo grado, https://www.geogebra.org/m/zvmqa2ex