Christian Mercat, Mar 5, 2025

Calcul modulaire dans [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]. Vous êtes habitué·e à savoir lire une horloge. Il y a pourtant du calcul modulaire pas si simple dessous: les heures se lisent cycliquement, de 1 à 12, sur une aiguille courte et lente. Une aiguille plus longue indique les minutes, jusqu'à soixante, et de même pour "la trotteuse" des secondes. Le calcul modulaire est le calcul sur les entiers dont on ne retient que le reste dans la division par n. Cette opération de prendre le reste est compatible avec les opérations usuelles, addition, multiplication, exponentiation (les puissances [math]a^k[/math]). On peut représenter ces nombres modulo sur un cercle, comme les heures ou les minutes sur une horloge. Les opérations ont des propriétés nouvelles par rapport aux entiers, par exemple, il existe toujours un opposé, et même parfois un inverse voire au contraire des diviseurs de zéros! [math]a\times b=0[/math] avec [math]a,b\not = 0[/math]. On dit alors que [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] n'est pas intègre quand il a des diviseurs. Ces diviseurs structurent [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] en sous-groupes. Quand n n'a pas de diviseurs autre que 1 et lui-même, il est premier, et [math](\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)[/math] est un corps, tous les éléments non nuls ont un inverse.

Le calcul modulaire est le calcul sur les entiers dont on ne retient que le reste par la division par n. Cette opération de prendre le reste est compatible avec les opérations usuelles, addition, multiplication, exponentiation (les puissances [math]a^k[/math]). On peut représenter ces nombres modulo sur un cercle, comme les heures ou les minutes sur une horloge. Les opérations ont des propriétés nouvelles par rapport aux entiers, par exemple, il existe toujours un opposé, et même parfois un inverse voire au contraire des diviseurs de zéros! [math]a\times b=0[/math] avec [math]a,b\not = 0[/math]. On dit alors que [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] n'est pas intègre quand il a des diviseurs. Ces diviseurs structurent [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] en sous-groupes. Quand n n'a pas de diviseurs autre que 1 et lui-même, il est premier, et [math](\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)[/math] est un corps, tous les éléments non nuls ont un inverse.

• 1. Horloge
• 2. Tables de sommes et de produits dans Z/nZ
• 3. Calcul modulaire Z/nZ
• 4. Racines primitives
• 5. Petit théorème de Fermat
• 6. Polynômes cyclotomiques

Nous avons de nouveaux nombres modulaires. [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]. En particulier quand n est premier, c'est un corps, tous les éléments non nuls ont un inverse. Faisons alors de la géométrie: Considérons des points dans le plan [math](x,y)\in \mathbb Z/n\mathbb Z^2[/math] ou dans l'espace [math](x,y,z)\in \mathbb Z/n\mathbb Z^3[/math], est-ce qu'on peut définir des droites, des plans, des vecteurs, un produit scalaire, une notion d'angle? Explorons ces notions.

• 1. Les droites vectorielles de (Z/5Z)²
• 2. Droites parallèles à Vect(1,2) dans Z/5Z²
• 3. Dobble à p(p+1)+1 cartes de p+1 symboles P²(Z/pZ)