El [b]método de Euler[/b] es un [i]método aproximativo de predicción[/i], y se aplica cuando se quiere estimar una variable [math]y_n[/math] de salida para una determinada variable [math]x_n[/math] de entrada. Para poder predecir es necesario conocer la manera, o forma, en que varía la variable [math]y[/math] en relación a la variable [math]x[/math], y conociendo de antemano un estado, que llamaremos, de inicio; comúnmente se le conoce como [i]condición inicial[/i] [math]\left(x_0,y_0\right)[/math]. Este proceso expuesto en lenguaje común (verbal), describe un algoritmo el cual puede traducirse a lenguaje matemático. Esto de manera simplificada significa que se debe resolver una EDO de primer orden, sujeta a una condición inicial. Este problema a resolver cumple con la siguiente estructura:[br][br][math]\frac{dy}{dx}=f\left(x,y\right)[/math]; sujeta a una condición inicial [math]\left(x_0,y_0\right)[/math].[br][br]Aquí, la derivada nos indica de qué forma, o manera, varía [math]y[/math] en relación a [math]x[/math], y se manifiesta como un proceso de cambio entre estas dos variables. Al conocerse esta información, es posible predecir un estado [math]\left(x,y\right)[/math] en cierta parte de un proceso. Para ello, se debe conocer un estado [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] para predecir, a partir de él, el proceso [i]a posteriori[/i]. El método de Euler considera dos estados sucesivos (contiguos), esto es, de manera general: [math]\left(x_i,y_i\right)[/math] y [math]\left(x_{i+1},y_{i+1}\right)[/math], [b]estado anterior y estado actual[/b], respectivamente. Ahora bien, si estos estados están muy próximos uno del otro, podemos considerar que la única manera en la que ambos se relacionan, o se interconectan, es a través de un comportamiento del tipo lineal. Matemáticamente, podemos expresar esta relación como:[br][br][math]y_{i+1}-y_i=m\left(x_{i+1}-x_i\right)[/math],[br][br]donde [math]m[/math] es la pendiente de la recta que une a ambos estados. Pero del cálculo sabemos que [math]m=\frac{dy}{dx}[/math], por lo que la expresión lineal queda como: [math]y_{i+1}-y_i=\frac{dy}{dx}\cdot\left(x_{i+1}-x_i\right)[/math]. Cabe mencionar que el valor de la pendiente es única en cada punto de una curva, que en este caso, sería en el punto que consideramos el [i]estado anterior[/i] [math]\left(x_i,y_i\right)[/math], ya que a través de éste nos permitirá predecir el [i]estado actual[/i] [math]\left(x_{i+1},y_{i+1}\right)[/math]. Por lo que [math]m=\frac{dy}{dx}\left(x_i,y_i\right)[/math], y tras considerar la EDO de primer orden, concluimos que [math]m=\frac{dy}{dx}\left(x_i,y_i\right)=f\left(x_i,y_i\right)[/math]. Para simplificar el proceso de predicción, podemos considerar que entre dos entradas sucesivas, digamos [math]x_i[/math] y [math]x_{i+1}[/math], se pueda generar una diferencia entre ellas con el mismo valor constante, esto es: [math]h=x_{i+1}-x_i[/math]. Por lo que el algoritmo de predicción se reduce a:[br][br][math]y_{i+1}=y_i+h\cdot f\left(x_i,y_i\right)[/math], con [math]i=0,1,2,3,...,n[/math][br][br]Si queremos saber el valor de [math]h[/math], basta con conocer la longitud que existe entre la primera y última entrada ([math]x_0[/math] y [math]x_n[/math]), y el número [math]n[/math] de iteraciones que deseamos realizar. Con esta información se tiene que,[br][br][math]h=\frac{x_n-x_0}{n}[/math].[br][br]En concreto, si desea utilizar el algoritmo de operación del [b]método de Euler[/b], son necesarios los siguientes elementos de inicio:[br][br]* función bivariable [math]f\left(x,y\right)[/math][br]* condición inicial [math]\left(x_0,y_0\right)[/math][br]* número [math]n[/math] de iteraciones[br]* valor de [math]x_n[/math][br][br]Todos estos elementos permiten calcular, o predecir, el valor de [math]y_n[/math].[br][br][size=200][b]Modo de operación del applet[/b][/size][br][br][size=150][size=100]Usted puede modificar cada uno de los elementos mencionados anteriormente tras realizar ciertas acciones específicas sobre ellos. Por ejemplo, la función bivariable [math]f\left(x,y\right)[/math] puede cambiarla escribiendo una nueva en la casilla de entrada. Es posible cambiar tanto la condición inicial [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] como el valor de [math]x_n[/math], tras desplazarlos a lo largo de la vista gráfica, utilizando el puntero. En cuanto al valor de [math]n[/math], basta con utilizar el deslizador, y así posicionarse en el valor que indicará el número de iteraciones que realizará el algoritmo.[br][br]El applet también da la posibilidad de mostrar la solución analítica, en caso que se tenga una solución integrable.[/size][/size]