Ezzel a talányos, gondolatébresztő képpel invitáljuk olvasóinkat ennek a komoly absztrakciót igénylő témának, az elliptikus síkgeometria körmodelljének - a továbbiakban E-modell - a megismeréséhez.[br][br]Mint ahogy eddig is tettük, az euklideszi geometriából jól ismert (alap)fogalmak meglétét, vagy éppen hiányát, és ezek következményeit fogjuk elemezni a kíváncsi rácsodálkozás igényével, de a teljességre való törekvés igénye nélkül.[br]

A geometria axiomatikus felépítéséről [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/a78kTk7w]itt olvashattunk egy rövid áttekintést.[/url][br][br]A nagyobb nyomaték kedvéért onnan ide másolunk egy fontos mondatot:[br][list][*][color=#9900ff]A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így tehát [u]vannak[/u] egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek.[br]Nevezzünk [i]párhuzamos[/i]nak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők. [/color][/*][/list][br]Ezzel szemben az eddigi tapasztalataink alapján kimondhatjuk, hogy :[br][list][*][color=#6aa84f][b]Az elliptikus geometriában nincsenek egy síkben fekvő, egymást nem metsző egyenesek, azaz bármely két egyenesnek pontosan egy közös pontja van.[/b][/color][/*][/list]Ez nyilvánvalóan ellentmond az abszolut geometria (így az [color=#3c78d8]euklideszi [/color]és a [color=#ff0000]hiperbolikus [/color]geometria) axiómarendszerének, vagyis már az illeszkedési-rendezési axiómákat is ehhez kell igazítanunk. De mit kell megváltoztatni, és hogyan?[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/a78kTk7w]A korábbi gyakorlatnak megfelelően[/url] [color=#9900ff][b]ezzel a színnel[/b] [/color]fogjuk jelölni azokat a kijelentéseket, amelyek [color=#9900ff]mind az euklideszi, mind az elliptikus geometriában [/color] érvényesek [color=#0000ff][b]ezzel azokat[/b][/color], amelyek csak [color=#0000ff]az euklideszi geometriában érvényesek, [u]itt nem[/u][/color], [color=#6aa84f][b]ezzel pedig[/b][/color] azokat, amelyek [color=#6aa84f]csak az elliptikus geometria sajátosságai.[br] [/color][br]Íme néhány példa: [br][list][*][color=#9900ff][b]bármely két pontra egy és csakis egy egyenes illeszkedik;[/b][/color][/*][*][color=#6aa84f]bármely két egyenesre egy és csakis egy pont illeszkedik; [br][/color][color=#333333](vagyis bármely két egyenes metsző)[/color][/*][*][color=#0000ff][b]egy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható.[/b] [br][/color][color=#333333](ez a megfogalmazás [url=http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/geom_axioma1.pdf]Euklidesz második posztulátuma[/url]),[/color][/*][*][color=#6aa84f][b]az egyenes zárt, véges hosszúságú geometriai alakzat;[/b][/color][/*][*][b][color=#9900ff]bármely két derékszög egyenlő egymással;[br][/color][/b][/*][*][color=#0000ff][b]egy egyenes bármely három pontja közül egy [u]közte van[/u] a másik kettőnek;[/b][/color][/*][*][color=#6aa84f][b]egy egyenes két pontját [u]nem választja el egymástól[/u] egy harmadik pont;[/b] [br][/color][color=#333333](vagyis - épp úgy mint egy körre illeszkedő három pontra - nem értelmezhető a "közte van" fogalom, vagyis az "elválasztó pont" fogalma). [/color][/*][/list][br]Reméljük, hogy olvasóink nem rettentek meg ezektől a tömény kijelentésektől, inkább ismerkedjenek meg azzal a GeoGebra programmal, amelynek a saját eljárásai mindezeket az összefüggéseket szemléletessé, elfogadhatóvá teszik, példát mutatva arra, hogy - tágítva a szemléletünket - a geometria világa bővebb, talán érdekesebb is a közismert euklideszi geometriánál.

Az alábbi "Üres modell" címmel ellátott applet egyáltalán nem üres. A parancs-sor első ikonján látszik, hogy ott vannak rendre az E-modell saját eljárásai. Minden eddiginél határozottabban javasoljuk, hogy azok az olvasóink, akik önálló munkára szeretnék használni ezeket az eljárásokat, töltsék le a saját gépükre ezt az appletet, és ott próbáljanak megismerkedni a program lehetőségeivel. Ugyanis ezek egy része nehezem, vagy egyáltalán nem használhatók interakcióban. Erre mutatunk néhány példát.[br][list][*]Vegyenek fel az E-modell eszköztárával két pontot. (Ezek neve [b]A[/b] és [b]B[/b] lesz, az átnevezésükre[u] itt [/u]nincs lehetőség. Ezt a (zöld hátterű) ↦∙ jelre kattintva érhetik el. Ugyanis csak így tudtuk megoldani, az un. [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]dinamikus koordináták[/url] felhasználásával, hogy amint a pontot vonszolva kiérünk az alapkörig, akkor a mozgatott pont [i]"ugorjon át"[/i] a vele átellenes pont helyére. Próbáljuk ki. [br][br]Az algebra ablakban olvasható definíciójából látható, hogy [b]A[/b] és [b]B[/b] dinamikus pont, így van "alattuk" egy-egy másik -nem látható - pont, amelyek a látható és alkalmasint "átugró" pontok mozgását vezérlik. Ezért, ha pl. letörölnénk ezeket a pontokat, a mögöttük lévő segédalakzatok ott maradnak. [br][br][/*][*]Vegyük fel az ikonjára, majd a két felvett pontra kattintva az általuk meghatározott [b]c[/b] E-egyenest. Ugyanezt megtehetjük úgy is, hogy a parancs-sorba beírjuk a [b]c=EE(A,B)[/b] parancsot. A GeoGebra egy újonnan felvett alakzatot - pl. a [b]c [/b]kört - az addigi alakzatok feletti rétegbe teszi, így hiába takartuk ki a számunkra nem szükséges, sőt zavaró részt. Ezt a parancs-sorba beírt [b]Réteg(c,0)[/b] paranccsal tudjuk áthelyezni a legalsó rétegbe, amelynek az alapkörön kívüli része így már letakarható.[/*][/list]Azok a mindenre elszánt olvasóink, akik vállalják az ezzel járó nehézségeket, várhatóan önállóan meg tudják tanulni az itt felsorakoztatott saját eszközök használatát. Ezért a továbbiakban inkább a téma matematikai hátterére összpontosítva tárjuk olvasóink elé az ezek felhasználásával készített anyagainkat. [br][br]Akik viszont alaposabban szeretnének megismerkedni a modell saját eljárásaival, és önálló munkák elkészítésére kívánják használni, javasoljuk az alábbi appletet elemző [b]pdf [/b]fájl tanulmányozását.

Az elliptikus geometria félgömb-modellje és a körmodellje közötti kapcsolatot jószerével [url=https://www.geogebra.org/m/y2czvwbf]egyetlen példán keresztül [/url]mutattuk be. A feladatot megismételve most azt nem a féltér-modell vetítésével, hanem a fenti körmodell eljárásainak az alkalmazásával fogjuk szemléltetni.[br][br]A feladat:[br][list][*]Legyen adott az E-síkon az [b]A [/b]és [b]B[/b] pont. Szerkesszük meg[br]  - az [b]AB [/b]E-egyenest;[br]  - az [b]A[/b] középpontú [b]B[/b] pontra illeszkedő kört;[br]   - végül figyeljük meg az így kapott alakzatokra illesztett pontok mozgását! [/*][/list]Figyeljük meg, hogy[br][list][*] ha mind az E-egyenes, mind az E-kör láthatóságát bekapcsoljuk, akkor a két alakzat - nem meglepő módon - merőleges lesz egymásra;[br][br][/*][*]ha az A ill. B pontot úgy mozgatjuk, hogy az E-körnek van két közös pontja a modell alapkörével, akkor "látjuk" úgy, hogy a kör két részre esik szét. A rajta mozgó pont ilyenkor is bejárja a kört.;[br][br][/*][*]ha az az [color=#ff0000][b]A[/b][/color] illl. [color=#6aa84f][b]B[/b][/color] pontokat úgy választjuk meg, hogy a két két "látszólagosan különböző rész" essen egybe, akkor a kör egyenessé fajul, amely átmegy az [color=#9900ff](A,B)[/color] E-egyenes pólusán. [/*][/list]

Persze ennél lassabban, körültekintőbben lenne célszerű haladnunk. Ezt fogjuk tenni.