Wir haben bereits einiges über die Ableitung kennengelernt.[br]Hier eine kurze Wiederholung für die relevanten Details!
Wann nenne ich eine Funktion f an der Stelle [math]x_0[/math] ihres Definitionsbereichs differenzierbar?
Eine Funktion f heißt an der Stelle [math]x_0[/math] ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten, nämlich der Differentialquotient [math]\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0-h\right)+f\left(x_0\right)}{h}[/math] existiert.
Wie berechne ich die Ableitung [math]f'\left(x_0\right)[/math] einer Funktion f an dem Punkt [math]x_0[/math]?
Die Ableitung [math]f'\left(x_0\right)[/math] der Funktion f an dem Punkt [math]x_0[/math] kann mithilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten berechnet werden, dem Differentialquotienten [math]\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0-h\right)+f\left(x_0\right)}{h}[/math].
Gib eine Definition für die Ableitungsfunktion an!
Die Ableitungsfunktion [math]f'[/math] einer Funktion [math]f[/math] ordnet jeder Stelle x die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] zu.
Wenn ich nun für die Stelle x die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] berechne, was beschreibt [math]f'\left(x\right)[/math] in Bezug auf den Graphen f?
Die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] beschreibt die Steigung des Graphen an dem Punkt [math]\left(x,f\left(x\right)\right)[/math].
Da wir nun das notwendige Vorwissen haben, können wir uns das Grafische Ableiten vornehmen![br]Zunächst ein kurzes Beispiel, dann dürft ihr euch den Rest selber erarbeiten!
Der Schieber X beschreibt die x-Koordinate. Du siehst hier jeweils die Tangente [math]g[/math], welche an die Funktion [math]f[/math] bei dem bestimmten x-Wert angelegt wird. Der zugehörige Punkt wird dabei mit P bezeichnet.
Für was könnte der Punkt Z stehen, wenn du an die vorherigen Definitionen beim Vorwissen denkst?
Der Punkt Z liegt auf dem Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math]. Somit können wir allgemein die Punkte des Ableitungsgraphen mit [math]Z\left(x,f'\left(x\right)\right)[/math] schreiben.
Wir wissen bereits, dass [math]f'\left(x\right)[/math] die Steigung des Graphen f an der Stelle x beschreibt. Findest du Stellen x, bei denen die Steigung null ist und somit gilt: [math]f'\left(x\right)=0[/math]
Das gilt für x=-1 und x=1. Diese müssen somit Nullstellen des Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] sein.
Bei welchen Punkten sind nun die Steigungen des Graphen f maximal bzw. minimal?
Für x=0 wird die minimale Steigung des Graphen f erreicht. Somit muss die Ableitungsfunktion [math]f'[/math] hier eine Tiefpunkt haben.
Betrachte nun zuletzt noch, was die Steigung und somit der Graph der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] zwischen den obigen besonderen Stellen macht!
Jetzt habt ihr bereits ein relativ guten Überblick, was der Graph der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] machen muss. Im nächsten Geogebra-Applet könnt ihr es mithilfe der Spurfunktion mal anschauen. Zieht dafür einfach den Schieber X hin und her!
Nun dürft ihr das Ganze mal selbst versuchen. Solltet ihr noch Fragen haben oder etwas unklar sein, dürft ihr euch gerne melden![br][br]Versucht nun, bei dem folgenden Graphen der Funktion [math]f[/math] mit dem gleichen Vorgehen wie oben heranzugehen und somit den Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] zu zeichnen!
Tragt dafür die einzelnen Punkte mithilfe der Eingabezeile in das Geogebra-Applet ein und skizziert mithilfe der Freihandfunktion (unter Werkzeuge -> mehr) den Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math]. Da es sich um eine Skizze handelt, müsst ihr nicht ganz genau sein. Bestimmt euch so viele Punkte für den Graphen der Ableitungsfunktion[math]f'[/math], sodass ihr ihn vernünftig zeichnen könnt (in der Regel ca. 4-5 Punkte).[br][br]Zur Überprüfung könnt ihr euch den Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] anzeigen lassen! Der Funktionsterm steht bereits in der Eingabezeile, aber versucht es wirklich zuerst selbst, damit tut ihr nur euch selbst keinen Gefallen!
Dieser Teil ist optional! Wenn ihr schon alles vorherige erledigt habt, könnt ihr euch an der folgenden Aufgaben versuchen. Sie ist etwas schwieriger, funktioniert aber im Prinzip genauso wie zuvor, viel Spaß![br][br]Ihr müsst dazu immer die Steigung in den oberen Kasten eintragen und dann "Steigungspunkt erzeugen" drücken. Dann entsteht ein Punkt mit der x-Koordinate und der Steigung als y-Koordinate in der unteren Grafik. Mit Kontrolle könnt ihr wieder euere Ergebnisse überprüfen.