[right][size=85][size=85][size=85][size=85][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]September 2021[/b][/i][/color])[/size][/size][/size][/size][/size][/right][br][size=85][color=#cc0000][i][b][u]Oben:[/u] [/b][/i][/color]Das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[0,\infty\right][/math], also die [color=#999999][i][b]Ursprungsgeraden[/b][/i][/color], das [color=#0000ff][i][b]polare[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]i\cdot\left[0,\infty\right][/math],[br]also die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um 0, und irgendein [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] um die [color=#ff7700][i][b]Pole[/b][/i][/color] der [color=#0000ff][i][b]orthogonalen Achsen[/b][/i][/color], hier exemplarisch [br]das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[-1,1\right][/math] erzeugen ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz [/b][/i][/color]aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]![br][br][color=#cc0000][u][i][b]Unten:[/b][/i][/u][/color] Die [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[-1,1\right][/math] und [math]\left[-i,i\right][/math] und das [color=#ff0000][i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]i\cdot\left[0,\infty\right][/math], also [br]die [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um 0, erzeugen ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][u][i][b]Bemerkungen:[/b][/i][/u][/color] [br] - Die Übereinstimmung der 3 zusammenfallenden (?) [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] fast bis zur 15. Nachkommastelle[br]ist natürlich nur ein Indiz, kein Beweis! Es ist aber auch ein Indiz, wie stabil diese [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#ff7700][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] sind, obwohl ziemlich[br]viele [color=#38761D][i][b]quadratische Gleichungen[/b][/i][/color] zum Nachweis der Schließungsbedingung zu lösen wären![br] - Die Notation [math]\left[z_1,z_2\right][/math] und [math]i\cdot\left[z_1,z_2\right][/math] für [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und ihrer [color=#0000ff][i][b]polaren[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ist eine Kurzform für die[br]Rechnungen in der [b]LIE[/b]-Algebra [math]\mathbf{\mathcal{so}\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math] der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Gruppe[/b][/i][/color] [math]\mathbf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math]. Die Multiplikation mit [math]i[/math] ist die Polarität, [br]das [b]LIE[/b]-Produkt zweier [color=#ff0000][i][b]parabolischer Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit den Grundpunkten [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] ergibt das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [br]mit den [color=#ff7700][i][b]Polen[/b][/i][/color] [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math], wenn man von einem [color=#0000ff][i][b]komplexen[/b][/i][/color] Faktor absieht ( - der übrigens für die [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] des [br][color=#0000ff][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] zuständig ist!). Siehe das Kapitel [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168840][color=#0000ff][u][i][b]Möbius-Geradenraum[/b][/i][/u][/color][/url].[/size]