평면 벡터 함수의 예시에서 확인한 바와 같이 일반적인 평면 벡터 함수는 불연속일 수 있다. 제품 디자인에서 활용되는 부드러운 곡선을 수학적으로 모델링 하기 위해 평면 곡선을 정의한다.

각 성분 함수 [math]x(t),\ y(t)[/math]가 모두 연속인 평면 벡터 함수 [math]F:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R}[/math]를 [b]연속[/b]이라고 하며, 연속 평면 벡터 함수 [math]F[/math]를 [b]평면 곡선[/b](plane curve)라고 한다.

[1-①]의 [b]예시 1~3[/b]의 직선, 포물선, 원을 나타내는 평면 벡터 함수는 모두 각각의 성분 함수가 연속이므로 평면 곡선이다. 하지만 [b]예시 4[/b]의 파선을 나타내는 평면 벡터 함수는 [math]x[/math]성분 함수가 연속함수가 아니므로 곡선이 아니다.

평면 벡터 함수 [math]F(t)=(|| t-1|-1|,\ t)[/math]는 각 성분 함수가 모두 연속함수이므로 평면 곡선이다.

위 예시처럼 뾰족한 점 없이 '부드러운' 곡선을 다루기에 평면 벡터 함수의 연속 조건만으로는 충분하지 않다. 따라서 자연스럽게 평면 벡터 함수의 미분을 고려할 수 있다. 평면 벡터 함수의 미분은 실숫값 함수의 미분과 동일한 방법으로 정의한다.

평면 곡선 [math]F(t)=(x(t),\ y(t))[/math]의 각 성분 함수가 모두 미분 가능하면 [math]F[/math]를 [b]미분 가능한 곡선[/b]이라고 한다.[br]평면 벡터 함수 [math]F'(t)=(x'(t),\ y'(t))[/math]를 미분 가능한 곡선 [math]F[/math]의 [b]속도 벡터[/b]라 하고 속도 벡터의 크기 [math]|F'(t)|=\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}[/math]를 미분 가능한 곡선 [math]F[/math]의 [b]속력[/b]이라고 한다.

평면 곡선 [math]F(t)=(t\sin t,\ t)[/math]는 각 성분 함수가 모두 미분 가능하므로 미분 가능한 곡선이며 속도 벡터는[center][math]F'(t)=(\sin t +t\cos t ,1)[/math][/center]이다.

평면 벡터 함수를 이용해 평면 곡선을 정의할 때 하나의 도형이 다른 벡터 표현을 가질 수 있다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어 단위원 [math]x^2 + y^2 =1[/math]은 [math]F_1 (t)=(\cos t ,\ \sin t)[/math]와 [math]F_2 (t)=(\cos 2t ,\ \sin 2t)[/math]로 나타낼 수 있다. 곡선의 식에서 변수 [math]t[/math]를 [b]매개변수[/b](parameter), 곡선을 [b]매개화된 곡선[/b](parameterized curve)이라고 한다. 같은 도형을 표현하는 곡선이라도 매개화된 곡선의 식이 다른 경우 그 속도벡터에 차이가 있을 수 있다.

단위원 [math]x^2 + y^2 =1[/math]의 두 매개화된 곡선 [math]F_1 (t)=(\cos t ,\ \sin t)[/math]와 [math]F_2 (t)=(\cos 2t ,\ \sin 2t)[/math]에 대하여[br][center][math]F_1'(t)=(-\sin t,\ \cos t),\quad F_2'(t)=(-2\sin 2t,\ 2\sin 2t)[/math][/center]이므로 [math]F_1(t)[/math]와 [math]F_2(t)[/math]의 속력은 각각 [math]1[/math]과 [math]2[/math]이다.