[br][math]q:=a11 \; x^{2} + a12 \; x \; y + a13 \; x \; z + a21 \; x \; y + a22 \; y^{2} + a23 \; y \; z + a31 \; x \; z + a32 \; y \; z + a33 \; z^{2} + a10 \; x + a20 \; y + a30 \; z + a0=0[/math][br]Matrixform[br][math]q:=\vec{x}^{T} \; A \; \vec{x} + 2\vec{a}^T \; \vec{x} + a0=0[/math] mit M Mittelpunkt [math]\left(\vec{x}-\vec{M}\right)^T\cdot A\cdot\left(\vec{x}-\vec{M}\right)=c[/math][br][br]Beispiel:[br][math]q_A:= \begin{array}{r}7 \; x^{2} + 7 \; y^{2} + 4 \; z^{2} - 4 \; x \; y - 2 \; x \; z - 2 \; y \; z - 70 \; x + 38 \; y + 28 \; z + 202\\\end{array} = 0[/math][br]===>[br][math]A \, := \, \left(\begin{array}{rrr}7&-2&-1\\-2&7&-1\\-1&-1&4\\\end{array}\right) [/math][br][math]2\vec{a}^T:=\left(-70, 38, 28\right) \\ a_0:=202[/math][br]===> HAT Rotation/Drehung[br][math]\small R \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\0&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{2}{\sqrt{6}}\\\end{array}\right) \quad [/math][br][br]===> um ([math]spur\left(R \right) = 2 \; \operatorname{cos} \left( a \right) + 1[/math][sup][url=https://www.geogebra.org/m/fdmmvvma]1[/url])[/sup])[br] [math] φ \quad \to cos(φ)= \frac{1}{2}\, (Spur(R)−1) = \, \frac{1}{2} \, \left( - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}+ \frac{2}{\sqrt{6}}-1\right)= -0.73398 \quad \to φ=137.22° [/math][br][br][math]q_D: \, 9 \; x^{2} + 6 \; y^{2} + 3 \; z^{2} + 54 \; \sqrt{2} \; x + 20 \; \sqrt{3} \; y + 4 \; \sqrt{6} \; z = -202[/math]===>[math]M_q \, := \, \left(-\frac{a10}{2 \; a11}, -\frac{a20}{2 \; a22}, -\frac{a30}{2 \; a33} \right)[/math][br]===> HAT Translation/Verschiebung[br][math]t \, := \, \left\{ - 3 \; \sqrt{2}, - \frac{5}{3} \; \sqrt{3}, - \frac{2}{3} \; \sqrt{6} \right\} [/math]===>[math]t \, := \, \left\{ x = x - \frac{1}{2} \cdot \frac{a10}{a11}, y = y - \frac{1}{2} \cdot \frac{a20}{a22}, z = z - \frac{1}{2} \cdot \frac{a30}{a33}, a_T = \frac{a10^{2}}{4 \; a11} + \frac{a20^{2}}{4 \; a22} + \frac{a30^{2}}{4 \; a33} \right\}[/math][br][br][math]q_N:= \left(\left(x, y, z \right) + t \right)\; R^{T} \; A \; R \; \left(\left(x, y, z \right) + t \right) + a \; R \; \left(\left(x, y, z \right) + t \right) = 18[/math][br][br][math]q_N:= \, 9 \; x^{2} + 6 \; y^{2} + 3 \; z^{2} = 18 \\ M \, := \, \left(4, -2, -3 \right)[/math][br]===>[br][math]q_A:= \left(x-4,y+2,z+3 \right) \; A \; \left(\begin{array}{r}x-4\\y+2\\z+3\\ \end{array}\right) = 18[/math][br][br]Eine Quadrik x[sup]T[/sup]Ax+ 2a[sup]T[/sup]x+a[sub]0[/sub]= 0 beschreibt[br][list][*][b](1a)[/b]ein Ellipsoid, einen Punkt oder die leere Menge, falls alle Eigenwerte von A gleiches Vorzeichen haben[/*][*][b](1b)[/b]ein Hyperboloid oder einen Doppelkegel, falls A Eigenwerte verschiedenen Vorzeichens und nicht den Eigenwert 0 hat[/*][*][b](2a)[/b]ein elliptisches Paraboloid, einen elliptischen Zylinder, eine Gerade oder die leere Menge, falls A den Eigenwert 0 hat und die anderen beiden gleiches Vorzeichen haben[/*][*][b](2b)[/b]ein hyperbolisches Paraboloid, einen hyperbolischen Zylinder oder zwei sich schneidende Ebenen, falls A den Eigenwert 0 hat und die anderen verschiedenes Vorzeichen haben[/*][*][b](3)[/b]einen parabolischen Zylinder, eine oder zwei parallele Ebenen, oder die leere Menge, falls A den doppelten Eigenwert 0 hat.[br][/*][/list]

Fallbeispiel entnommen [url=http://mathematik.uni-lueneburg.de/algebra/abbildungen/haupt-achs-trafo/quadriken-ellipsoid.html]Prof. Dr. Dörte Haftendorn: Mathematik mit MuPAD[/url][br][br][size=85]Die Inputbox liefert die Gleichung in der AlgebraView aus. Das führt zur Rundung von Werten (z.B.[math]\sqrt{ 3}[/math]) was zum Teil dramatische Auswirkungen durch Rundungsfehler haben kann. Ein exakte Rechnung erhalten sie, wenn sie die Gleichung im CAS Zeile 3 eingeben ===> q0:=[/size][br][br] 5: C Koeffizienten der Quadrik[br] 6: Koeffizientenmatrix A (quadratische x² und gemischte xy)[br] 7: Vektor a der x,y,z Koeffizienten für Matrixgleichung [br] 8: Konstante a[sub]0[/sub] [br]10: Kontrolle Ausgangsgleichung q[sub]A[/sub] = (x,y,z) A (x,y,z) + a (x,y,z)=a_0[br]11: Diagonalisierung JordanDiagonalisation[br] JD(1) Drehmatrix ===> Rn ([size=85]muss noch normalisiert werden[/size]), [br] JD(2) Matrix der Eigenwerte ===> D[br]12: Drehmatrix R - normalisieren JD(1) [br]13: Determinante R [br] Check Drehmatrix det(R)=1 ===> [color=#0000ff]Col Change[/color] [Spalte für Korrektur*(-1)][br] Ausrichten der Reihenfolge der Eigenwerte/Eigenvektoren ===> [color=#0000ff]EV xchg[/color] [{1,2,3}][br] durch Zeilen/Spalten-Tauschmatrizen TxR bzw. TxEV[br]14: Koeffizientenmatrix D der gedrehten Quadrik q[sub]D[/sub] [br]16: Gleichung achsenparallele Lage - Drehung - q[sub]D[/sub]: (x,y,z) D (x,y,z) + a R (x,y,z) = a_0[br]17: QE Koeffizienten für quadratische Ergänzung [br]19: M[sub]q[/sub] Ursprung des KO für q[sub]D[/sub] und Verschiebevektor in Ursprung (0,0,0)[br]20: T (Translate) zum Einsetzen in q[sub]D[/sub] für Verschiebung in KO-Ursprung.[br] [math]\small \text{x\Longrightarrow x $-$\frac{a10}{2\:a11} , y \Longrightarrow y $-$ \frac{a20}{2\:a22}},z\Longrightarrow z - \frac{a30}{2\;a33}[/math][br]21: q[sub]N[/sub] transformierte Quadrik [br]22...===>Achsengeraden q[sub]A[/sub]: ga[sub]x[/sub], ga[sub]y[/sub], M[sub]A[/sub] Ursprung gedrehte Form q[sub]D[/sub], Drehwinkel [math]\phi[/math], Drehachse g[sub]D[/sub] [br][br]Quadratisches Ergänzen[br][br][math]\small q_A: \, a11 \; x^{2} + a22 \; y^{2} + a33 \; z^{2} + a12 \; x \; y + a13 \; x \; z + a23 \; y \; z + a10 \; x + a20 \; y + a30 \; z + a0 = 0 [/math][br][br][table][tr][td]==> [math]a11 \; x^{2} + a10 \; x[/math] [br]==>[math]\small a11 \; \left(x^{2} + \frac{a10}{a11} \; x + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a10}{a11} \right)^{2} \right) - a11 \; \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{a10}{a11} \right)^{2}[/math] [br]==> [math]\small a11 \; \left(x + \frac{1}{2} \cdot \frac{a10}{a11} \right)^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{a10^{2}}{a11}[/math] [/td][br][td][math]\small QE \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}a11&\frac{a10}{a11}&\frac{a10^{2}}{4 \; a11^{2}}&-\frac{a10^{2}}{4 \; a11}\\a22&\frac{a20}{a22}&\frac{a20^{2}}{4 \; a22^{2}}&-\frac{a20^{2}}{4 \; a22}\\a33&\frac{a30}{a33}&\frac{a30^{2}}{4 \; a33^{2}}&-\frac{a30^{2}}{4 \; a33}\\\end{array}\right)[/math][br][/td][/tr][/table][br][br]HAT-Abbildung[br] [math]q_A:=\vec{X} \; A \; \vec{X} + a \; \vec{X} = a_0[/math][br] [math]q_N:=\left(\vec{X} + t \right) \; S^{-1} \; A \; S \;\left( \vec{X} + t \right) + a \; S \; \left(\vec{X}+ t \right) = a_T[/math][br][br]Beispiele (Gleichung immer mit Konstante auf rechter Seite eingeben)[br]x² + 2y² + 3z² + 2x y + 2x z + 2y z + x = 1[br]2x² + y² + z² + 2x y + 2x z + 2y z + x = 1[br]3x² + 5y² + 3z² + 2x y + 3x z + 3y z + 8x = 5*[br]7x² + 7y² + 4z² - 4x y - 2x z - 2y z - 70x + 38y + 28z = -202[br]5x² - 10x y - 4x z - 40x + 5y² + 4y z + 52y + 8z² + 64z = -164[br]1 / 4 x² + 4y² + (z - 3)² = 1 ([size=85]Schönheitspreis: EV xchg [1,3,2] Col Change [3][/size])[br][br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showcheckbox.png[/icon][url=https://ggbm.at/b2cengjk]H(ochkant) Version fürs Smartphone[/url][math]\rightarrow[/math][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon]vgl. [url=http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm]Arndt Brünner[math]\nearrow[/math][/url][br][size=85][br][Online und Touch Versionen rechnen oft unvollständig oder [size=85]fehlerhaft [/size] - komplexe Quadriken benötigen ausgiebige Rechenzeiten][br]- lokal installierte Apps: ggb5(win) arbeitet stabil - ggb6 win mit Einschränkungen stabil - [/size]

Im Aufbau