Cálculo Numérico
En este libro veremos algunos conceptos y algoritmos básicos de Cálculo Numérico. ¡Esperamos que lo disfruten y que sea de ayuda! El Mono y Juli.
Table of Contents
- Errores
- Tipos de errores - Error absoluto y relativo
- Relojes, satélites, y propagación del error
- Ceros de funciones
- Método de Bisección
- Método de Newton-Raphson
- Interpolación polinomial
- Polinomio interpolador de Lagrange
- Aproximación
- Aproximación por cuadrados mínimos
- Integración
- Integrales numéricas con Rectángulos
- Trapecios
- Regla de Simpson
- Ecuaciones diferenciales
- Método de Euler
Tipos de errores - Error absoluto y relativo
Tipos de errores
Cuando hacemos cálculos, se pueden generar errores de distintos tipos. Algunos ejemplos pueden ser:[br][list][*]intrínsecos del algoritmo.[/*][/list]Por esta razón debemos asegurarnos de que contamos con un algoritmo eficiente que logre evitar la pérdida de información valiosa.[list][*]errores en las medidas con las que obtuvimos nuestros datos.[/*][/list]Si nuestros datos están sesgados o afectados de alguna manera previamente a los cálculos, este error persistirá en los resultados finales.[list][*]redondeo o truncamiento durante los cálculos.[/*][/list]Esta clase de error puede aparecer cuando no podemos tomar los infinitos términos de una serie y en algún momento debemos truncarla, o cuando se redondea un número que no puede ser representado exactamente en binario con una cantidad finita de términos, para que la computadora pueda realizar los cálculos.
Error absoluto y relativo
Sea [math]\overline{x}[/math] un valor aproximado de [math]x[/math] (exacto). El error absoluto se define como la diferencia [math]\left|x-\overline{x}\right|[/math]. Si [math]x\ne0[/math], el error relativo se define como el cociente [math]\left|\frac{x-\overline{x}}{x}\right|[/math] y nos da una idea más clara de en qué porcentaje o proporción de la cantidad que estemos considerando le estamos errando.
Exploremos los conceptos de error absoluto y error relativo
¿Se puede asegurar que si el error absoluto es pequeño, el relativo también lo será?
Método de Bisección
Funcionamiento del método
La idea es seleccionar un intervalo en el que sepamos que se encuentra el cero de nuestra función. Luego, lo dividimos a la mitad y nos fijamos en dónde se encuentra el cero. Nos quedamos con este nuevo intervalo y volvemos a repetir el proceso tantas veces como queramos.[br][br]Para poder aplicar este método, debemos asegurarnos de seleccionar un intervalo en el que [math]f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0[/math]. Esto significa que la imagen de la función para [math]a[/math] y [math]b[/math], que son los extremos del intervalo, tengan distinto signo. Así, sabremos que el cero se encuentra efectivamente en medio.[br][br]Tengan cuidado con los ceros de multiplicidad par, este método sólo sirve para ceros de multipicidad impar. Si no se cumplen los requisitos, el programa les dirá que no hay ningún cero allí.
Exploremos el funcionamiento de este método
¡Lo ponemos a prueba!
Ahora que experimentamos un poco con el recurso y nos familiarizamos con el método, traten de responder las siguientes preguntas:
¿Qué pasa si hay más de una raíz en el intervalo elegido?
¿Siempre converge? ¿O hay situaciones en las que nos perdemos en el camino y no llegamos al cero que buscamos?
¿Se llega rápido o lento a encontrar la aproximación buscada? ¿Se necesitan muchos pasos?
Polinomio interpolador de Lagrange
Cómo hallar un polinomio que pase por todos los puntos que necesitemos
Para poder construir un polinomio que pase por determinados puntos, debemos definir primero algunos polinomios auxiliares.[br][br]Por cada punto, debemos hallar un polinomio auxiliar que pase por ese punto y a su vez tenga raíces debajo (o arriba) de los demás puntos. Si repetimos esto para todos y luego los sumamos, el polinomio interpolador va a pasar por todos los puntos, pero ellos no interferirán entre sí, pues la única contribución que logra que la interpolación pase por un punto corresponde a su propio polinomio auxiliar. ¡Por eso necesitamos que haya raíces en todos los otros lugares!
¿Cómo construimos un polinomio que interpole 5 puntos?
Ahora que exploraste esta construcción, te proponemos algunos desafíos...
¿Te animás a investigar por qué existe sólo un polinomio de grado 5 que interpole 5 puntos?
Supongamos que estamos recolectando datos de la temperatura de un reactor nuclear en distintos momentos para arreglar el sistema que lo refrigera. Sólo nos dejan medir por una hora por los peligros de estar cerca de un reactor con su refrigerador defectuoso.[br][br]Pasada la hora, habíamos medido 10 veces y armamos una interpolación de esos puntos. Sin embargo, nos comunican que la temperatura está estabilizada y podemos realizar más mediciones.[br][br]¿Hay alguna forma de incorporar los nuevos puntos sin tener que hacer todos los polinomios auxiliares de nuevo?
¿En qué casos te imaginás que no sería conveniente usar interpolación?
Aproximación por cuadrados mínimos
Una introducción a la aproximación
Cuando nos dan un conjunto de datos [math]\left\{\left(x_n,y_n\right)\right\}_{n\le N}[/math], no podemos ignorar que esos datos fueron obtenidos por un método experimental e imperfecto, por lo que estos no representan la realidad del fenómeno que nos interesa, sino que están cerca.[br][br]Interpolar los datos sería asumir que los datos son perfectos y no tienen errores, lo que resultaría en una función poco realista, ¡pruebenlo ustedes mismos! Pongan 5 puntos muy muy cerca, casi en una linea recta, en el recurso de interpolación y vean cómo la función hace [i]locuras [/i]solo para poder pasar por cada punto. El resultado no se asemeja a una línea recta.[br][br]Por esta razón, principalmente, no solemos interpolar datos para extraer información, sino que los aproximamos de otra manera: Primero vemos los datos y decimos "esto tiene pinta de... funcion lineal, pero... ¿cual es su pendiente? ¿y su termino independiente?". Entonces, los dejaremos como parámetros desconocidos, y nuestra función de aproximación será:[br][br][math]f\left(x\right)=ax+b[/math][br][br]Luego definimos una cantidad llamada "error cuadrático":[br][br][math]E=\sum_{n=1}^N\left(y_n-f\left(x_n\right)\right)^2[/math][br][br]la cual representa qué tan lejos está nuestra función de los datos. Esta cantidad dependerá de la función escogida para aproximar los datos, y por lo tanto, de los parámetros desconocidos.[br][br]En nuestro ejemplo de funcion lineal, el error termina siendo:[br][br][math]E=\sum_{n=1}^N\left(y_n-ax_n-b\right)^2[/math][br][br]Finalmente, dado que conocemos todos los datos [math]x_i[/math] e [math]y_i[/math], el error es una función de 2 variables: [math]a[/math] y [math]b[/math], y podemos minimizarlo utilizando los métodos aprendidos en los cursos de análisis. El resultado termina siendo:[br][br][math]a=\frac{\sum_n^Nx_n\sum_n^Ny_n-N\sum_n^Nx_ny_n}{\left(\sum_n^Nx_n\right)^2-N\sum_n^Nx_n^2}[/math][br]y[br][math]b=\frac{\sum_n^Ny_n-a\sum_n^Nx_n}{N}[/math]
¿Y si nuestros datos no parecieran lineales?
El primer paso en toda aproximación es elegir la función, si no tenemos la suerte de que los datos parezcan lineales, deberemos utilizar otra, y el procedimiento es el mismo: utilizando la misma definición de error pero cambiando [math]f[/math] por la función que nosotros queramos. Sin embargo, a veces es imposible resolver el problema de minimizar dicha función analiticamente, por lo que hacemos lo siguiente:[br][br]Aplicamos una transformacion inversible a los datos, de forma que sus imagenes sí se vean como una funcion lineal, entonces aproximamos linealmente y luego, a la funcion lineal obtenida, le aplicamos la transfrmacion inversa, obteniendo una aproximacion decente de los datos originales, veamos un ejemplo:
Aproximación en un caso concreto
¿Qué similitudes y/o diferencias podés encontrar entre la interpolación y la aproximación?
Integrales numéricas con Rectángulos
Base por altura...
Si pensamos en cómo calcular una integral haciendo aproximaciones, es probable que la primera idea que surja es dividir el intervalo en el que queremos integrar en subintervalos más pequeños. Luego, podemos multiplicar la longitud del subintervalo por la altura de la función y obtener el área de un rectángulo. Si repetimos esto para todas las subdivisiones y sumamos los resultados, obtendremos una aproximación a la integral real.[br][br]Pero... ¿Cuáles serían las alturas de los rectángulos?[br]En realidad, podríamos tomar cualquier valor de la función en el subintervalo. Sin embargo, solemos usar el extremo izquierdo, el extremo derecho, la función evaluada en el punto medio del subintervalo, el punto máximo o el mínimo.[br][br]Algunas de estas aproximaciones siempre darán menor o igual a la integral real, mientras que otros aproximarán por debajo de lo debido. Otros métodos, como el del punto medio, proporcionan mejores aproximaciones.[br][br]Una ventaja de usar los demás métodos es que podemos obtener cotas superiores e inferiores para el valor de la integral.
¿Qué desventajas tienen los métodos de sumas superiores e inferiores? (Selecciona con las que estés de acuerdo).
Método de Euler
[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon]Esta parte se encuentra en construcción. ¡Disculpe las molestias!