[b][size=150][b][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/b][br]＜テーラー展開＞[br][/size][/b]・さて、[b]n次多項式f(x)は[/b]f(x)=a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub](x-a)+a[sub]2[/sub](x-a)[sup]2[/sup] +a[sub]3[/sub](x-a)[sup]3[/sup]+ …+ a[sub]n[/sub](x-a)[sup]n[/sup]の形に書くこともできはずだ。[br]これをｋ回微分する。ｋを0からｎまで実行してみよう。[br](0回) f(x)=a[sub]0[/sub]+a[sub]1[/sub](x-a)+a[sub]2[/sub](x-a)[sup]2[/sup] +a[sub]3[/sub](x-a)[sup]3[/sup] …+ a[sub]n[/sub](x-a)[sup]n[/sup][br](1回）f'(x)= a[sub]1[/sub] +2a[sub]2[/sub](x -a)+3a[sub]3[/sub](x -a)[sup]2[/sup] + …+ na[sub]n[/sub](x-a)[sup]n-1[/sup] [br](2回）f''(x)= 2!a[sub]2 [/sub]+3･2a[sub]3[/sub](x -a) + …+ n(n-1)a[sub]n[/sub](x-a)[sup]n-2[/sup] [br](3回）f'''(x)= 3!a[sub]3[/sub](x -a) + …+ n(n-1)(n-2)a[sub]n[/sub](x-a)[sup]n-3[/sup][br]..........[br](n回）f[sup](n)[/sup](x)= n!a[sub]n[br][/sub]以上のｎ個の式でx=aとすると、f(a)=a0, f'(a)=a[sub]1[/sub], f''(a)=2!a[sub]2[/sub], f'''(a)=3!a[sub],[/sub],........f[sup](n)[/sup](a)=n!a[sub]n。[br][/sub]これらのa[sub]k[/sub]をもとのn次多項式に代入すると、[br][size=150][size=100]f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!・(x-a)[sup]2[/sup]＋f'''(a)/3!・(x-a)[sup]3[/sup]+......+f[sup](n)[/sup](a)/n!(x-a)[sup]n[br][/sup][/size][sup][/sup][/size]このように、[color=#0000ff][br][b]ｋ次項の係数をｋ階微分係数／ｋ！で表すことを多項式のテーラー展開[Talor expansion][/b][/color]という。[br][br][b]・[/b]テーラー展開を[u][b]条件つき[/b][/u][b][u]で一般の関数にも拡張できる[/u][/b]としたものが[color=#0000ff][b]テーラーの定理[theoream][/b][/color]だ。[br]その特定の条件とは、[br][b][size=150]閉区間[a,b]で(ｎ-1)階導関数が連続で、開区間(a,b)でn回微分可能[/size][/b]というもの。[br]テーラー展開のx=bとして、aとｂの間のｃで次を満たすものがある。[br][size=150][size=100]f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f''(a)/2!・(b-a)[sup]2[/sup]+......+f[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!(b-a)[sup]n-1[/sup][size=150]+f[sup](n)[/sup](c)/n!(b-a)[sup]n[br][/sup][/size][/size][size=150][sup]これがテーラーの定理。[br][/sup][/size][size=100]・さらに、[/size][size=150][size=100]ｂをｘに戻して変数化して、ｎ→∞とした級数和の極限近似式が作られる。[br]区間のスタート地点ｘ＝aはそのまま残っているね。[br][/size][size=150][color=#0000ff]f(x)=∑[sup]∞[/sup]f[sup](k)[/sup](a)/[sub]k![/sub]・(x-a)[sup]k[/sup][br][/color]＝f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/[sub]2![/sub]・(x-a)[sup]2[/sup]+......+f[sup](n-1)[/sup](a)/[sub](n-1)[sup]n-1[/sup][size=150]+Rn[br][size=100](剰余項）Rn=f[sup](n)[/sup](c)/n!(x-a)[sup]n[/sup](cはaとｘの間）[br][br][/size][/size][/size][/size][/size][size=150][size=150][color=#0000ff][b]これを、テーラー級数[taylor series][/b][/color]という。[br][/size][/size][size=150][b][size=150][br]＜マクローリン展開＞[/size][/b][br]テーラーの定理で、b=a+h, (c-a) /(b-a )=θとすると、 b-a=h、c=a+hθ[br][size=150][size=100]f(a+h)=f(a)+f'(a)(h)+f''(a)/2!・h[sup]2[/sup]+......+f[sup](n-1)[/sup](a)/(n-1)!h[sup]n-1[/sup][size=150]+f[sup](n)[/sup](a+θh)/n!h[sup]n[br][/sup][/size][/size][size=150][sup][/sup][/size][/size]となるね。[br]・さらに、[/size]a=0、h＝ｘとして、ｎ→∞とした級数和の極限近似式ができる。[br][size=150][size=150][size=150][color=#0000ff]f(x)=∑[sup]∞[/sup]f[sup](k)[/sup](0)/k!・x[sup]k[/sup][br][/color][b]＝f(0)+f'(0)x+f''(0)/[sub]2![/sub]・x[/b][sup]2[/sup][b]+......+f[/b][sup](n-1)[/sup][b](0)/[sub](n-1)![/sub]x[/b][sup]n-1[/sup][size=150][b]+Rn[br][/b][size=100](剰余項）Rn=f[sup](n)[/sup]([size=150][size=150]θx[/size][/size])/n!x[sup]n[/sup](cは0とｘの間）[br][br][/size][/size][/size][color=#0000ff][b]これを、マクローリン級数[Maclaurin series][/b][/color]という。[br][br]マクローリンの級数展開は、テーラー級数展開の区間のスタート地点がｘ＝aではなく、ｘ＝０に特殊化したものと考えられるね。（でも、この２人の級数展開は独立に発見されたものだと言われている。)[br][/size][/size]（例）[br]「ｆ(x)＝e[sup]x[/sup]とするとき、f(x)のマクローリン級数を利用してeの近似値を求める」と？[br]f[sup](k)[/sup](x)=e[sup]x[/sup]だから、f[sup](k)[/sup](0)=1。x=1とおくと、[br][b][size=150]f(x)=1 +x +x[sup]2[/sup]/[sub]2! [/sub]+x[sup]3[/sup]/[sub]3! [/sub]+....... +x[sup]n[/sup]/[sub]n![/sub][/size][sub][/sub][/b]+.......[br]1[br]1/1=1[br]1/2!=1/2=0.5[br][size=150][size=150]1/3!=0.5/3=0.16666666666666666[br]1/4!=0.16666666666666666/4=0.04166666666666666[br]1/5!=0.04166666666666666/5=0.008333333333333331[br]1/6!=0.00833333333333333/6=0.001388888888888888[br][/size][/size]1/7!=0.001388888888888888/7=0.00019841269841269831/8!=0.0001984126984126983/8=0.0000248015873015872[br]から、[br]e=f(1)=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8![br] =1+1+0.5+0.16666666666666666+0.04166666666666666+0.008333333333333331[br]+0.001388888888888888+0.0001984126984126983+0.0000248015873015872[br]=2.71827876984127[br][br]（例）[br]「f(x)=sinxとするとき、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？[br]f[sup](n)[/sup]sinx=sin(x+n・π/2)から、微分回数がmod(n,k)＝0,1,2,3で、sin→cos→-sin→-cosをくり返す。[br]だから、f[sup](n)[/sup](0)はmod(n,K)=0,1,2,3で、0→1→0→-1をくり返す。[br]f(x)=0+1x+x[sup]2[/sup]/[sub]2![/sub]-x[sup]3[/sup]/[sub]3![/sub]+.......+{0,1,0,-1}x[sup]n[/sup]/n!+.......[br][b]sinx= x　-x[sup]3[/sup]/[sub]3!　[/sub]+x[sup]5[/sup]/[sub]5!　[/sub]-x[sup]7[/sup]/[sub]7![/sub][/b]+...........+[color=#0000ff][b][size=150](-1)[sup](n-1)[/sup]x[sup](2n-1)[/sup]/[sub](2n-1)![/sub][/size][sub][/sub][/b][/color]+......[br]このようにnに対して、±用にn-1を使い、指数と階乗用に2n-1を使うと、mod(n,k)の場合理由リストが不要になるね。[br]（例）[br]「f(x)=cosxとするとき、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？[br]f[sup](n)[/sup]cosx=cos(x+n・π/2)から、微分回数がmod(n,k)＝0,1,2,3で、cos→-sin→-cos→sinをくり返す。[br]だから、f[sup](n)[/sup](0)はmod(n,K)=0,1,2,3で、1→0→-1→0をくり返す。[br]cosｘのときの微分係数の周期は同じで、スタートが０でなく１になっただけだね。[br]f(x)=1+0x-1x[sup]2[/sup]/[sub]2![/sub]+0x[sup]3[/sup]/[sub]3![/sub]+.......+{1,0,-1,0}/n!x[sup]n[/sup]+.......[br][b]cosx= 1　-x[sup]2[/sup]/[sub]2!　[/sub]+x[sup]4[/sup]/[sub]4!　[/sub]-x[sup]6[/sup]/[sub]6![/sub][/b]+...........+[color=#0000ff][b][size=150](-1)[sup]n[/sup]x[sup](2n)[/sup]/[sub](2n)![/sub][/size][sub][/sub][/b][/color]+......[br]（例）[br]「f(x)=log(1+x)とすると、f(x)のマクローリン級数を利用した近似式」を作ると？[br]f[sup](k)[/sup]log(1+x)は、k=0,1,2,3,...log(1+x)→1/(1+x)→-1/(1+x)[sup]2[/sup]→1･2/(1+x)[sup]3[/sup]....となる。[br]f[sup](n)[/sup]log(1+x)=(-1)[sup](n-1)[/sup]・(n-1)!/(1+x)[sup]n[/sup][br]だから、f[sup](n)[/sup](0)は0→1→-1→2!→-3!.....となるから、[br]f(x)=0+1x-1x[sup]2[/sup]/[sub]2![/sub]+2!x[sup]3[/sup]/[sub]3![/sub]-3!x[sup]4[/sup]/[sub]4![/sub]+4!x[sup]5[/sup]/[sub]5![/sub]......+{1,-1}x[sup]n[/sup]/n+.......[br][b]log(1+x)= x　-x[sup]2[/sup]/2[sub]　[/sub]+x[sup]3[/sup]/3[sub]　[/sub]-x[sup]4[/sup]/4[/b]+...........[color=#0000ff][b][size=150]+(-1)[sup](n-1)[/sup]x[sup]n[/sup]/n[/size][/b][/color]+......

・導関数の０点が極大か極小の点になるので、範囲を限定すると[color=#0000ff][b]最大・最小[/b][/color]を求めることにつながります。[br]・関数と関数の大小関係は[color=#0000ff][b]不等式の証明[/b][/color]に使えます。[br]　ｆ＞ｇを証明するためにはｈ（ｘ）＝ｆーｇがつねに正であることを証明すればよい。[br]　だから、最小値が正であることが言えれば良い。[br][br]以上のようにグラフの概形、上下関係、極大極小などデータが、最大・最小、不等式の扱いに[br]役立つことは数学Ⅰ、Ⅱでも十分やっている。[br][br][b][size=150]＜複合関数の方程式と不等式＞[br][/size][/b]ここでは、[br]　三角関数・対数関数・指数関数を組み合わせた複合関数の概形を利用したい。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｘ＝ｋe[sup]x[/sup]の解の個数」は？[br]ｋについて解くと、k=f(x)=x・e[sup]-x[br][/sup]ｘ軸に平行な直線y=kと、曲線y=f(x)の交点の個数が解の個数になる。[br]f(0)=0で原点を通る。e[sup]-x[/sup]は常に正だから、xが正なら正、ｘが負なら負になる。[br]f'=(1-x)e[sup]-x[/sup]=0となるのはｘ＝１で、ｘが１未満なら正で増加、１より大で減少。だから、ｘ＝１で最大。[br]最大値はf(1)=1/e。[br]これから、ｋが１/eを超えると1個、ｋ＝１/eで1個。k>0で２個。kが０以下で１個。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]f(x)=[math]\frac{logx}{x}\left(x>0\right)[/math] はf'(x)=[math]\frac{1-logx}{x^2}[/math] で、x=eで極大になることがわかるから、[br]x=πではx=eよりf(x)は小さい。[br][math]\frac{log\pi}{\pi}<\frac{loge}{e}[/math][br]logは単調増加関数だから、π[sup]e[/sup]はe[sup]π[/sup]より小さい。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ke[sup]x[/sup]=sinx(xが０以上２π以下）の解の個数」は？[br]ｋについて解くと、k=f(x)=sinx・e[sup]-x[br][/sup]ｘ軸に平行な直線y=kと、曲線y=f(x)の交点の個数が解の個数になる。[br]f(0)=0で原点を通る。e[sup]-x[/sup]は常に正だから、ｘが０からπまでsinxが正だから正、そのあとはゼロ以下。[br]f'(x)=cosx・e[sup]-x[/sup]-sinx・e[sup]-x[/sup]０=(cosx- sinx)・e[sup]-x[/sup][br]合成関数asinx+bcosx=ｎsin(x+p)のn,pは複素数(a,b)=(n；p)の極形式で出せるね。[br](-1,1)=(√2；3π/4)から、[br]cosx-sinx=-sinx+cosx=√2sin(x+3π/4)＝0の解はx=π/4、5π/4で。この値で極値。[br]ｘが０からπ/4までは正で増加し、π/4で最大。f(π/4)=1/√2/e[sup]π/4[/sup][br]ｘがπ/から5π/4までは負で減少し、5π/4で最小。f(5π/4)=-1/√2/e[sup]5π/4[/sup][br]ｘが5π/4から２πまでは正で増加。f(2π)=0[br]