Du hast bereits gelernt, dass man Folgen auf [i]Konvergenz[/i] untersuchen kann. Bei dieser Untersuchung von Folgen sind die unten aufgezählten vier [i]Rechenregeln für Grenzwerte[/i] eine wichtige Hilfe. Mit ihnen wird sich die gesamte Lernumgebung beschäftigen. Sie soll dir helfen zu verstehen, was die mathematische Definition der Regeln in konkreten Fällen bedeutet.

Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]