Geometria das transformações lineares
Uma Introdução a geometria das transformações lineares do plano no plano
Table of Contents
- Introdução
- Geometria das transformações lineares
- Exemplos
- Reflexões
- Projeções
- Dilatações e contrações
- Rotações
- Atividades
- Atividade 1
- Atividade 2
Geometria das transformações lineares
Se [math]T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] é uma transformação linear cuja matriz canônica é A, denota-se [math]T_A\left(P\right)=AP[/math].[br]Observamos que o ponto [math]P[/math] em [math]\mathbb{R}^2[/math] é representado por uma matriz coluna [math]2\times1[/math].[br]O efeito geométrico de um operador [math]T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] é o de transformar cada ponto de [math]\mathbb{R}^2[/math] em algum novo ponto.[br][br]Por exemplo:[br][br]
Movimente o ponto azul
1) Quais são as condições que uma transformação precisa satisfazer para que seja considerada linear?
2) Cite exemplos de transformações lineares:
Adaptado de[url=https://www.geogebra.org/m/HYJ4BCBE] https://www.geogebra.org/m/HYJ4BCBE[/url]
3) Identifique quais das oito transformações apresentadas acima podem ser consideradas lineares. [br][br][br]Observe que para realizar a investigação, você pode mover os pontos P e Q (clique/toque e arraste). [br][br]Os botões ( números 1 a 8) selecionam as transformações.
4) Foi necessário utilizar algum outro argumento, além do visual para resolver a questão 3? Justifique!
Reflexões
Entre os operadores lineares mais importantes do plano no plano, destacam-se os que produzem reflexões, projeções e rotações.[br][br]Por exemplo, considere [math]T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math] o operador que aplica a cada ponto em sua imagem simétrica em relação ao eixo y. Ou seja, realiza uma reflexão em torno do eixo y.[br][br]Se escrevermos [math]A'=T\left(A\right)[/math] então as equações que relacionam os componentes de [math]A[/math] e [math]A'[/math] são [br][br] [center][math]u_1=-x=-x+0y[/math][br][/center][math][/math][center][math]u_2=y=0x+y[/math][/center]Observe o applet abaixo. Escolha a reflexão (clicando no botão) e movimente o ponto A.
1) Quais são as equações que relacionam as componentes de A e A', no caso de uma reflexão em torno do eixo x?
1) Quais são as equações que relacionam as componentes de A e A', no caso de uma reflexão em torno da reta y=x?
Atividade 1
Uma forma eficaz de visualizar o comportamento das transformações lineares é observar seu efeito nos pontos de figuras simples no plano.[br][br]Utilize os botões de 1 a 8 para selecionar as transformações, se achar necessário, movimente os pontos A e B, para responder as questões abaixo.
1) Quais das transformações apresentadas acima são lineares?
2) A transformação apresentada em (1) é uma dilatação? Em caso positivo, qual o fator?
3) Considerando as transformações que são lineares, como denominam-se as transformações lineares apresentadas acima?