Ejemplo de iris folding
Espirales, iris y girasoles
Uno de los objetos matemáticos que, a simple vista nos parecen más llamativos, son las espirales y las construcciones relacionadas con ellas.
Desde luego, son un recurso artístico muy bonito, pero también podemos encontrarlas fácilmente en la naturaleza.
- ¿Sabrías decir en qué consiste una espiral? ¿Conoces alguna forma de dibujarlas?
- ¿Sabías que aparecen en los iris de las cámaras de fotos, y en las composiciones "doblado en iris"?
- Las semillas del girasol se distribuyen formando miles de espirales, usando algo muy relacionado con ellas, que aparece en muchos lugares de la naturaleza: la "sucesión de Fibonacci" y los ángulos áureos. Sabemos ¡y vemos! que muchísimas plantas crecen así, usando ángulos áureos, para que las hojas se tapen lo menos posible entre sí, y aprovechar mejor la luz del Sol.
¿Las construimos?
A continuación vamos a resolver algunas cuestiones relacionadas con las espirales del applet anterior, y dibujar con regla y compás ¡o construir con GeoGebra! algunas de ellas.
Tras los enunciados, tenemos una casilla de texto para indicar los enlaces a las creaciones que hayamos realizado, o las respuestas a las cuestiones. Los textos del propio applet nos darán pistas para resolverlas.
A. Espirales de varios centros y de Fibonacci (espirales falsas)
Simplemente utilizando las indicaciones del applet, podemos dibujar estas espirales.
Indica qué similitudes y diferencias aprecias en el proceso de construcción de estos dos dos tipos de espirales falsas.
B. Espiral de Padovan (espirales falsas)
La sucesión de Padovan se define recursivamente mediante (y ).
Sin embargo, al dibujar los triángulos y esta espiral nos basamos en .
- Fijándote en el applet, ¿podrías indicar dónde y cómo hacemos uso de esa propiedad? En los ejemplos numéricos que se muestran, podemos alternar visualizar los cálculos de una forma y otra pulsando en las flechas ↙ y ⬇.
- [Avanzado] Deduce esta definición alternativa escribiendo los valores obtenidos según la fórmula inicial para y y comparando los resultados con la expresión ¡Esa es una de las formas de hacer demostraciones matemáticas!
- Justifica que, precisamente gracias a la segunda fórmula, sabemos que siempre iremos recorriendo los vértices de los triángulos anteriores, en lugar de tener que situarlos en otro punto del lado correspondiente.
- Indica también por qué el hecho de situar cada vértice sobre el lado del triángulo correspondiente nos garantiza que los arcos tendrán enlaces "suaves". Utiliza ese mismo argumento para indicar cómo construir el hexágono regular que tiene dos lados tangentes a la espiral.
C. Espiral de Teodoro (espirales falsas)
- Dibujando segmentos perpendiculares, imitando uno a uno los pasos del applet, podremos dibujar la Espiral de Teodoro.
- Utilizando el Teorema de Pitágoras, justificar el valor de las longitudes de los lados que aparecen en el applet y el nombre de "Caracola Pitagórica".
- Fíjate en que es un bonito procedimiento, aunque algo lento, para representar la raíz cuadrada de cualquier número. ¿Conoces algún otro método matemático para representar raíces cuadradas?
D. Iris folding
Recortando pequeños rectángulos de papel podemos preparar un "iris folding":
- imprime el modelo que te guste, haciendo una captura de pantalla del applet,
- recorta un cuadrado grande en un papel y, después, pega la plantilla.
- comienza a pegar pequeños rectángulos de papel coincidiendo con las líneas de tu plantilla, de fuera hacia dentro. Esta parte que estás haciendo será la parte de "detrás" de la composición. No podrás ver cómo queda hasta que termines y despegues la plantilla.
- cuando termines, despega la plantilla y dale la vuelta para ver tu creación, que está por el otro lado del folio.
Espirales en un girasol