Geometria Euclidea
Raccolta di fogli di lavoro di Geometria Euclidea.
Table of Contents
- Dimostrare
- La logica (matematica) dietro le quinte
- Controesempi
- Teorema di Napoleone - Definire Ipotesi e Tesi - Esplorazione+Pratica
- Triangoli e quadrati con sorpresa
- Angoli, segmenti e rette
- Costruzione di un angolo di 30° e proprietà dei rombi
- Costruzione di un angolo di 60° e triangoli notevoli
- Costruzione della bisettrice di un angolo + Attività
- Trasporto di un angolo + Attività
- Posizioni reciproche di due rette nel piano - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Costruzione del punto medio e dell'asse di un segmento + Attività
- Costruzione della perpendicolare a una retta passante per un suo punto
- Costruzione della perpendicolare a una retta passante per un punto esterno
- Triangoli
- Triangoli - Elementi e relazioni tra di essi - Pratica
- Punti speciali dei triangoli: Lezione+Pratica
- Costruzione del triangolo isoscele di lato obliquo dato + Attività
- Costruzione del triangolo equilatero + Attività
- Costruzione del triangolo equilatero inscritto + Attività
- Costruzione di un triangolo - dato un lato e due angoli - Lezione
- Triangolo aureo e spirale aurea - Lezione
- Dissezioni - Il puzzle di Haberdasher
- Poligoni
- Poligoni semplici, intrecciati, concavi e convessi - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Simmetria rotazionale dei poligoni regolari - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Simmetria rotazionale e assi di simmetria di un poligono regolare - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Costruzione dell'esagono regolare + Attività
- Aree
- Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (1)
- Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (2)
- Pitagora, semicerchi e lunule - Lezione+Esplorazione
- Circonferenze
- Varie
- Caleidoscopio
La logica (matematica) dietro le quinte
Implicazione: ⇒
Consideriamo le proposizioni [math]p:x=3[/math], e [math]q:x+1=4[/math].[br]Diciamo che [math]p[/math] [i]implica [/i][math]q[/math], e scriviamo [math]p\Longrightarrow q[/math] per indicare che quando [math]p[/math] è vera, allora anche [math]q[/math] è vera. [br](Se [math]p[/math] è vera, [math]q[/math] è [i]necessariamente vera[/i]). [br][br]Il simbolo [math]\Longrightarrow[/math] [i]collega [/i]una premessa [math]\left(p\right)[/math] e una conclusione [math]\left(q\right)[/math], ed è molto utilizzato nelle dimostrazioni, perchè rappresenta un modo simbolico di mostrare il ragionamento deduttivo.[br]Scrivere "[math]p[/math] implica [math]q[/math]" è equivalente a dire "se [math]p[/math] allora [math]q[/math]" o più raramente "[math]q[/math] se [math]p[/math]".[br][br]Sembra complicato, vero? No... vediamo qualche esempio di implicazioni.[br][list][*][i]Se [/i]prendi più di 6 nella verifica, [i]allora [/i]passi l'esame.[/*][*]La testa ti farà male [i]se[/i] continui a sbatterla contro il muro.[/*][/list]
Un esempio di implicazione in geometria
Dato un quadrilatero [i]Q[/i], usa l'app di seguito per trovare e verificare le reciproche implicazioni tra le seguenti proposizioni:[br][i]a[/i]: [i]Q[/i] ha un angolo ottuso .[br][i]b[/i]: [i]Q[/i] ha tre angoli acuti.[br][i]c[/i]: [i]Q[/i] non ha angoli retti. [br][br](Trascina i vertici per esplorare quadrilateri di tipo diverso)
Quali sono le implicazioni logiche tra le proposizioni [i]a[/i], [i]b, [/i][i]c[/i]?
Le persone false non piacciono a nessuno
Considera questo esempio: [math]10=11\Longrightarrow10\cdot0=11\cdot0[/math][br]Siamo partiti da una premessa falsa e abbiamo ottenuto una conclusione vera.[br][br]Ora considera questo: [math]10=11\Longrightarrow10-1=11-1[/math][br]Siamo partiti - ancora - da una premessa falsa e abbiamo ottenuto una conclusione falsa.[br][br]L'implicazione non vuole premesse false. Se partiamo da una premessa falsa, anche se applichiamo operazioni matematicamente corrette alla premessa, la conclusione che otteniamo può essere sia vera che falsa.
Mostrare che le cose non funzionano
Nell'esempio precedente, avevamo a disposizione le seguenti tre proposizioni relative a un quadrilatero [i]Q[/i]:[br][i]a[/i]: [i]Q[/i] ha un angolo ottuso.[br][i]b[/i]: [i]Q[/i] ha tre angoli acuti .[br][i]c[/i]: [i]Q[/i] non ha angoli retti. [br][br]Possiamo dire che:[br][list][*][i]a[/i] non implica [i]b [/i]perchè un rombo (che non è un quadrato) ha un angolo ottuso, ma non ha 3 angoli acuti.[/*][*][i]a[/i] non implica [i]c[/i] perchè un trapezio rettangolo (che non è un rettangolo) ha un angolo ottuso e due angoli retti.[/*][*][i]c[/i] non implica [i]b[/i] perchè un rombo (che non è un quadrato) non ha angoli retti, ma non ha tre angoli acuti.[/*][/list][br]Abbiamo visto che l'implicazione non vale utilizzando uno "strumento" che in matematica si chiama [i]controesempio[/i].[br]Scopri di più sui controesempi facendo clic [url=https://www.geogebra.org/m/k6djugsq]qui[/url].
Costruzione di un angolo di 30° e proprietà dei rombi
Riproduci su carta la costruzione descritta nell'app, utilizzando riga e compasso.
Ora tocca a te!
L'app che segue è la stessa della precedente, ma ora hai a disposizione gli strumenti di GeoGebra.
Esplora tutta la costruzione nell'app qui sopra, quindi usa gli strumenti di GeoGebra e disegna i segmenti [math]AC,CG,GD[/math] e [math]DA[/math].[br]Che figura geometrica si ottiene? Perchè?[br][br](Utilizza i pulsanti [i]Annulla [/i]e [i]Ripristina [/i]in alto a destra nella barra degli strumenti o ricarica la pagina nel browser per eliminare oggetti che hai creato ma non sono utili o corretti).
Ora disegna i segmenti [math]CD[/math] e [math]AG[/math].[br]Cosa rappresentano per il poligono creato in precedenza?
Illustra le proprietà delle diagonali di un rombo.
Considera il triangolo [math]ACD[/math].[br]Che tipo di triangolo è? Spiega perchè lo hai classificato come tale.
Completa la frase con i termini mancanti.[br][br]Sia [math]H[/math] il punto di intersezione di [math]CD[/math] e [math]AG[/math].[br]Allora [math]CH[/math]_________[math]DH[/math] e il triangolo [math]ACH[/math] è un triangolo rettangolo con lati uno _____________ dell'altro, quindi l'angolo [math]CAH[/math] misura ___________ .
Vero o falso?
Se una proposizione è falsa, correggila in modo da renderla vera oppure fornisci un controesempio.[br][br][list=1][*]Se un parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, allora è un rombo.[/*][*]Alcuni rombi sono rettangoli.[/*][*]Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è un rombo.[/*][*]Le diagonali di un rombo sono congruenti.[/*][*]Un rombo è una figura simmetrica rispetto a una sua diagonale.[/*][*]Un rombo è una figura simmetrica rispetto al punto di intersezione delle diagonali.[/*][*]Un rombo ha i lati congruenti a 2 a 2.[/*][*]La somma degli angoli interni di un rombo equivale a 2 angoli retti.[/*][*]In ogni rombo la diagonale minore è lunga come il lato.[br][/*][/list]
Triangoli - Elementi e relazioni tra di essi - Pratica
Opposto, adiacente, compreso... [br][br]Questi sono tre concetti fondamentali della geometria, che ti consentono di definire con una singola parola e localizzare la posizione degli elementi di un triangolo... con un clic![br]
Considera il triangolo visualizzato nell'app.
Il lato [math]AB[/math] è opposto all'angolo...?
Il lato AC è ...................... agli angoli [math]\alpha[/math] e [math]\gamma[/math].
L'angolo [math]\gamma[/math] è .................. al lato [math]AB[/math].
Il lato [math]BC[/math] è adiacente agli angoli...............
Ripassiamo le definizioni...
- Un [b][i]vertice [/i][/b]di un triangolo è [b][i]opposto [/i][/b]a un lato se non appartiene al lato.[br][br]- Un [b][i]angolo [/i][/b]di un triangolo è [b][i]opposto [/i][/b]a un lato se il vertice dell'angolo non appartiene al lato.[br][br]- Un [b][i]angolo [/i][/b]di un triangolo è [b][i]compreso [/i][/b]tra due lati se i lati del triangolo appartengono ai lati dell'angolo.[br][br]- Un [b][i]angolo [/i][/b]e un [b][i]lato [/i][/b]si dicono [b][i]adiacenti [/i][/b]se il vertice dell'angolo appartiene al lato.
Poligoni semplici, intrecciati, concavi e convessi - Lezione+Esplorazione+Pratica
Click [url=https://www.geogebra.org/m/jdu6uvue]here[/url] for the English version.
Poligoni semplici e intrecciati
Nell'app di seguito è visualizzato un [i]poligono: [/i]la parola poligono deriva dal greco antico, e significa "molti angoli".[br][br]Un poligono può essere [i]semplice[/i], se la spezzata che lo delimita è chiusa e i lati non si intersecano, mentre se i lati si intersecano il poligono si dice [i]intrecciato[/i].[br][br]Trascina i vertici del poligono e crea dei poligoni [i]semplici[/i] e [i]intrecciati[/i]. [br]I punti di intersezione dei lati dei poligoni intrecciati saranno visualizzati nel grafico.[br]
Poligoni convessi e concavi
Puoi caratterizzare ulteriormente un poligono [i]semplice[/i] come [i]convesso [/i]o [i]concavo[/i].[br][br]Esplora l'applet di seguito, crea poligoni [i]convessi e[/i] [i]concavi[/i], osserva le misure degli angoli e la posizione delle diagonali rispetto alla porzione di piano racchiusa dei lati del poligono.[br][br]Formula la tua congettura su come differenziare un poligono [i]convesso [/i]da uno [i]concavo[/i], basandoti sulle proprietà della figura che hai esplorato.
Poligoni convessi e angoli interni
Cosa puoi dire relativamente alle misure degli angoli interni di un poligono [i]convesso[/i]?[br]Condividono tutte una stessa caratteristica?
Poligoni concavi e angoli interni
Cosa puoi dire relativamente alle misure degli angoli interni di un poligono [i]concavo[/i]?[br]Alcuni angoli condividono una stessa caratteristica?
Poligoni convessi, poligoni concavi e diagonali
Descrivi la differenza tra le [i]posizioni [/i]delle [i]diagonali [/i]di un poligono [i]convesso [/i]e di uno [i]concavo [/i]rispetto alla porzione di piano racchiusa dai lati del poligono (cioè la sua [i]superficie[/i]).
Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (1)
Iniziamo definendo gli oggetti con cui andremo a lavorare.[br]Diciamo che due figure [math]F_1[/math] ed [math]F_2[/math] sono [i][color=#1e84cc]equiscomponibili [/color][/i]se possono essere scomposte in un numero finito di parti, rispettivamente congruenti.[br][br]Ciò significa che se abbiamo due figure e le tagliamo in modo tale che i ritagli dalla prima figura siano esattamente come i ritagli della seconda figura, allora le due figure si dicono "[i]equiscomponibili[/i]".[br]Le figure che puoi creare utilizzando tutti i pezzi del [url=https://www.geogebra.org/m/ktjcr94c#material/y3gwuybx]gioco del Tangram[/url] sono un esempio di figure [i]equiscomponibili[/i].[br][br]Nell'app di seguito scoprirai perchè, dato un qualsiasi triangolo, puoi calcolarne l'area moltiplicandone la base per metà dell'altezza.[br][br]Muovi lo [color=#ff7700][i]slider [/i][/color]per scoprire come scomporre un triangolo in un parallelogramma equivalente.[br][br]Muovi i vertici del triangolo per esplorare configurazioni diverse.
Caleidoscopio
Puoi muovere tutti i puntini rossi del disegno (compreso il cerchietto rosso centrale) per ottenere un effetto caleidoscopio.