Geometria Euclidea
Raccolta di fogli di lavoro di Geometria Euclidea.
Table of Contents
- Dimostrare
- La logica (matematica) dietro le quinte
- Controesempi
- Teorema di Napoleone - Definire Ipotesi e Tesi - Esplorazione+Pratica
- Triangoli e quadrati con sorpresa
- Rette
- Posizioni reciproche di due rette nel piano - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Triangoli
- Costruzione di un triangolo - dato un lato e due angoli - Lezione
- Triangoli - Elementi e relazioni tra di essi - Pratica
- Punti speciali dei triangoli: Lezione+Pratica
- Triangolo aureo e spirale aurea - Lezione
- Dissezioni - Il puzzle di Haberdasher
- Poligoni
- Poligoni semplici, intrecciati, concavi e convessi - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Simmetria rotazionale dei poligoni regolari - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Simmetria rotazionale e assi di simmetria di un poligono regolare - Lezione+Esplorazione+Pratica
- Aree
- Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (1)
- Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (2)
- Pitagora, semicerchi e lunule - Lezione+Esplorazione
- Circonferenze
- Varie
- Caleidoscopio
La logica (matematica) dietro le quinte
Implicazione: ⇒
Consideriamo le proposizioni [math]p:x=3[/math], e [math]q:x+1=4[/math].[br]Diciamo che [math]p[/math] [i]implica [/i][math]q[/math], e scriviamo [math]p\Longrightarrow q[/math] per indicare che quando [math]p[/math] è vera, allora anche [math]q[/math] è vera. [br](Se [math]p[/math] è vera, [math]q[/math] è [i]necessariamente vera[/i]). [br][br]Il simbolo [math]\Longrightarrow[/math] [i]collega [/i]una premessa [math]\left(p\right)[/math] e una conclusione [math]\left(q\right)[/math], ed è molto utilizzato nelle dimostrazioni, perchè rappresenta un modo simbolico di mostrare il ragionamento deduttivo.[br]Scrivere "[math]p[/math] implica [math]q[/math]" è equivalente a dire "se [math]p[/math] allora [math]q[/math]" o più raramente "[math]q[/math] se [math]p[/math]".[br][br]Sembra complicato, vero? No... vediamo qualche esempio di implicazioni.[br][list][*][i]Se [/i]prendi più di 6 nella verifica, [i]allora [/i]passi l'esame.[/*][*]La testa ti farà male [i]se[/i] continui a sbatterla contro il muro.[/*][/list]
Un esempio di implicazione in geometria
Dato un quadrilatero [i]Q[/i], usa l'app di seguito per trovare e verificare le reciproche implicazioni tra le seguenti proposizioni:[br][i]a[/i]: [i]Q[/i] ha un angolo ottuso .[br][i]b[/i]: [i]Q[/i] ha tre angoli acuti.[br][i]c[/i]: [i]Q[/i] non ha angoli retti. [br][br](Trascina i vertici per esplorare quadrilateri di tipo diverso)
Quali sono le implicazioni logiche tra le proposizioni [i]a[/i], [i]b, [/i][i]c[/i]?
Le persone false non piacciono a nessuno
Considera questo esempio: [math]10=11\Longrightarrow10\cdot0=11\cdot0[/math][br]Siamo partiti da una premessa falsa e abbiamo ottenuto una conclusione vera.[br][br]Ora considera questo: [math]10=11\Longrightarrow10-1=11-1[/math][br]Siamo partiti - ancora - da una premessa falsa e abbiamo ottenuto una conclusione falsa.[br][br]L'implicazione non vuole premesse false. Se partiamo da una premessa falsa, anche se applichiamo operazioni matematicamente corrette alla premessa, la conclusione che otteniamo può essere sia vera che falsa.
Mostrare che le cose non funzionano
Nell'esempio precedente, avevamo a disposizione le seguenti tre proposizioni relative a un quadrilatero [i]Q[/i]:[br][i]a[/i]: [i]Q[/i] ha un angolo ottuso.[br][i]b[/i]: [i]Q[/i] ha tre angoli acuti .[br][i]c[/i]: [i]Q[/i] non ha angoli retti. [br][br]Possiamo dire che:[br][list][*][i]a[/i] non implica [i]b [/i]perchè un rombo (che non è un quadrato) ha un angolo ottuso, ma non ha 3 angoli acuti.[/*][*][i]a[/i] non implica [i]c[/i] perchè un trapezio rettangolo (che non è un rettangolo) ha un angolo ottuso e due angoli retti.[/*][*][i]c[/i] non implica [i]b[/i] perchè un rombo (che non è un quadrato) non ha angoli retti, ma non ha tre angoli acuti.[/*][/list][br]Abbiamo visto che l'implicazione non vale utilizzando uno "strumento" che in matematica si chiama [i]controesempio[/i].[br]Scopri di più sui controesempi facendo clic [url=https://www.geogebra.org/m/k6djugsq]qui[/url].
Posizioni reciproche di due rette nel piano - Lezione+Esplorazione+Pratica
Nell'app, seleziona la posizione reciproca che vuoi esplorare e modifica la posizione delle rette visualizzate trascinando i punti che le definiscono.
Rispondi alle seguenti domande
Per tre punti distinti passa una e una sola retta.
Per due punti passano infinite rette distinte.
Due rette hanno almeno un punto in comune.
Costruzione di un triangolo - dato un lato e due angoli - Lezione
Costruzione di un triangolo, dato un lato, un angolo adiacente e l'angolo opposto ad esso.[br][br]Utilizza gli slider per impostare l'ampiezza degli angoli [math]\hat{A}[/math] e [math]\hat{C}[/math] e la lunghezza del lato [i]AB[/i].[br]L'ampiezza di [math]\hat{B}[/math] viene automaticamente calcolata, se il relativo triangolo esiste.
Poligoni semplici, intrecciati, concavi e convessi - Lezione+Esplorazione+Pratica
Click [url=https://www.geogebra.org/m/jdu6uvue]here[/url] for the English version.
Poligoni semplici e intrecciati
Nell'app di seguito è visualizzato un [i]poligono: [/i]la parola poligono deriva dal greco antico, e significa "molti angoli".[br][br]Un poligono può essere [i]semplice[/i], se la spezzata che lo delimita è chiusa e i lati non si intersecano, mentre se i lati si intersecano il poligono si dice [i]intrecciato[/i].[br][br]Trascina i vertici del poligono e crea dei poligoni [i]semplici[/i] e [i]intrecciati[/i]. [br]I punti di intersezione dei lati dei poligoni intrecciati saranno visualizzati nel grafico.[br]
Poligoni convessi e concavi
Puoi caratterizzare ulteriormente un poligono [i]semplice[/i] come [i]convesso [/i]o [i]concavo[/i].[br][br]Esplora l'applet di seguito, crea poligoni [i]convessi e[/i] [i]concavi[/i], osserva le misure degli angoli e la posizione delle diagonali rispetto alla porzione di piano racchiusa dei lati del poligono.[br][br]Formula la tua congettura su come differenziare un poligono [i]convesso [/i]da uno [i]concavo[/i], basandoti sulle proprietà della figura che hai esplorato.
Poligoni convessi e angoli interni
Cosa puoi dire relativamente alle misure degli angoli interni di un poligono [i]convesso[/i]?[br]Condividono tutte una stessa caratteristica?
Poligoni concavi e angoli interni
Cosa puoi dire relativamente alle misure degli angoli interni di un poligono [i]concavo[/i]?[br]Alcuni angoli condividono una stessa caratteristica?
Poligoni convessi, poligoni concavi e diagonali
Descrivi la differenza tra le [i]posizioni [/i]delle [i]diagonali [/i]di un poligono [i]convesso [/i]e di uno [i]concavo [/i]rispetto alla porzione di piano racchiusa dai lati del poligono (cioè la sua [i]superficie[/i]).
Area(triangolo)=(b ∙ h)/2 - Perchè? Dim. visuale (1)
Iniziamo definendo gli oggetti con cui andremo a lavorare.[br]Diciamo che due figure [math]F_1[/math] ed [math]F_2[/math] sono [i][color=#1e84cc]equiscomponibili [/color][/i]se possono essere scomposte in un numero finito di parti, rispettivamente congruenti.[br][br]Ciò significa che se abbiamo due figure e le tagliamo in modo tale che i ritagli dalla prima figura siano esattamente come i ritagli della seconda figura, allora le due figure si dicono "[i]equiscomponibili[/i]".[br]Le figure che puoi creare utilizzando tutti i pezzi del [url=https://www.geogebra.org/m/ktjcr94c#material/y3gwuybx]gioco del Tangram[/url] sono un esempio di figure [i]equiscomponibili[/i].[br][br]Nell'app di seguito scoprirai perchè, dato un qualsiasi triangolo, puoi calcolarne l'area moltiplicandone la base per metà dell'altezza.[br][br]Muovi lo [color=#ff7700][i]slider [/i][/color]per scoprire come scomporre un triangolo in un parallelogramma equivalente.[br][br]Muovi i vertici del triangolo per esplorare configurazioni diverse.
Caleidoscopio
Puoi muovere tutti i puntini rossi del disegno (compreso il cerchietto rosso centrale) per ottenere un effetto caleidoscopio.