[list][*]Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeit - Ziegenproblem[/*][*]10. Schulstufe, 6. Klasse AHS Oberstufe, Mathematik[/*][*]Dauer: 2-3 Stunden[/*][*]SchülerInnenmaterial: [url=https://ggbm.at/G8EfEk6t]Arbeitsblätter zum Ausdrucken[/url][/*][*]Spezielle Materialien: Spielkarten: 1 Ass Karte und 2 Nicht-Ass Karten pro Gruppe[/*][/list][br]In dieser Unterrichtssequenz sollen die SchülerInnen ein bekanntes Anwendungsbeispiel der bedingten Wahrscheinlichkeit kennen lernen. Sie sollen am Anfang mit spielerischen Mitteln dieses Problem nachspielen und anschließend immer näher an die Lösung des Problems herangebracht werden. Ziel sollte es am Ende der Unterrichtssequenz sein, dass die SchülerInnen dieses Problem bzw. die Lösung dieser Aufgabenstellung verstanden haben.

Die SchülerInnen wissen/können...[br][list][*]über die Wahrscheinlichkeitsbegriffe bescheid[/*][*]die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ereignissen berechnen[/*][*]das Gesetz der großen Zahlen[/*][*]über die bedingte Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes bescheid[/*][/list][br]

Beispiel: Die SchülerInnen können...[br][list][*]Vermutungen aufstellen[/*][*]Zufallsexperimente modellieren[/*][*]die Wahrscheinlichkeit des Ziegenproblems bestimmen bzw. berechnen[/*][/list]

[justify][/justify][left][/left][justify]Die folgende Unterrichtssequenz gliedert sich in mehrere Teile und enthält insgesamt 9 Aufgabenzetteln. Die SchülerInnen arbeiten in Gruppen (außer Aufgabenzettel 1 noch alleine) die Aufgaben der Reihe nach ab. Erst wenn sie eine Aufgabe abgeschlossen haben, erhalten sie den nächsten Aufgabenzettel.[br]Ziel dieser Unterrichtssequenz soll es sein, dass die SchülerInnen schrittweise an die Lösung des Ziegenproblems herangeführt werden. Zuerst spielen sie diese Aufgabenstellung mit Spielkarten nach und machen sich so mit dem Problem vertraut. Anschließend setzen sie sich immer mehr mit dem Ziegenproblem auseinander, bis sie schlussendlich auf die Lösung kommen sollen und diese auch verstehen sollen.[/justify]

Am Beginn wird das erste Aufgabenblatt an die SchülerInnen ausgeteilt und sie befassen sich zunächst alleine mit der Thematik des Ziegenproblems. Sie sollen erste Überlegungen anstellen und sich auch einen ersten persönlichen Lösungsvorschlag überlegen.

Nachdem sich die SchülerInnen mit der ersten Aufgabe beschäftigt haben und sich auch Gedanken dazu gemacht haben, werden Gruppen zu drei (oder zwei) Personen gebildet. Jede Gruppe erhält dann drei Spielkarten, eine Ass Karte und zwei Nicht-Ass Karten. Die SchülerInnen spielen dann in den Gruppen die Aufgabe nach und notieren mit, wie oft sie gewinnen und verlieren und welche Strategie sie dabei angewendet haben (Wechsel oder Nichtwechsel der Karte).

Nach der ersten Spielrunde erhalten die Gruppen zwei Leserbriefe zu lesen. Die beiden Leserbriefe beziehen sich dabei auf die vorgeschlagene Lösung von Marilyn vos Savant, die dieses Problem publik machte. DIe SchülerInnen in den Gruppen sollen sich kritisch mit den beiden Leserbriefen auseinandersetzen und ihre Einschätzung dazu abgeben.

Mit den (hoffentlich) gewonnen Erkenntnissen und dem Auseinandersetzen mit der vermeintlichen Lösung, spielen die SchülerInnen eine weitere Runde. Ziel wäre es, dass die SchülerInnen jetzt öfters die Ass Karte erwischen, als wie noch zuvor in der ersten Runde.

Die SchülerInnen befassen sich nun genauer mit der Wechselstrategie und sollen mit den Spielergebnissen aus den beiden Runden auf eine Tendenz schließen können. Mit Hilfe der Ergebnisse sollen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, dass man gewinnt oder verliert wenn man die Karte wechselt.

Um noch aussagekräftigere Ergebnisse zu bekommen, werden die Ergebnisse aller Gruppen zusammengefasst. Mit Hilfe dieser Ergebnisse sollen die SchülerInnen erneut die relativen Häufigkeiten berechnen.

Die SchülerInnen spielen erneut mit offenen Karten das Spiel durch und sollen somit auf die Lösung des Ziegenproblems kommen. Wenn die SchülerInnen Fall für Fall durchgehen, sollte es ihnen meiner Meinung nach gut gelingen, das Ziegenproblem zu verstehen und auf die Lösung zu kommen.

Die SchülerInnen füllen mit ihren gewonnenen Erfahrungen aus Teil 1 die Tabelle mit allen neun Möglichkeiten aus und erhalten somit die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln der Tür.

Eine weitere Möglichkeit die Lösung des Ziegenproblems zu ermitteln, ist es, wenn man sich ein Baumdiagramm zeichnet. Die SchülerInnen sollen dies hier tun, wobei ihnen eine bereits vorgefertigte Skizze angeben ist. Sie müssen nur mehr die Wahrscheinlichkeiten bei den einzelnen Ästen eintragen und anschließend die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln der Karte berechnen.[br]Für schnelle Gruppen ist noch die Zusatzaufgabe gedacht. Auch hier sollen die SchülerInnen mit einem Baumdiagramm arbeiten, jedoch ein etwas anderes als zuvor. Mit diesem Baumdiagramm ist es möglich, die Gewinnwahrscheinlichkeit mit Hilfe des Satzes von Bayes zu berechnen, das sollen sie SchülerInnen hier tun.

Bei der Simulation des Ziegenproblems (Aufgabenzettel 2) ist auch eine weiterführende Übung gegeben, die zuhause gemacht werden soll. Hiermit sollen die SchülerInnen mit Hilfe eines [url=https://www.geogebra.org/m/f4QfxksF]GeoGebra Applets[/url] das Ziegenproblem mehrmals durchspielen.

Die Unterrichtssequenz ist eine aufbauende Unterrichtseinheit. Die SchülerInnen bearbeiten in Gruppen (außer Aufgabenzettel 1) der Reihe nach die Aufgabenzetteln durch und erst wenn sie eine Aufgabe abgeschlossen habe, erhalten sie den nächsten Zettel. Somit soll gewährleistet werden, dass die SchülerInnen die nötigen Kompetenzen erlangt haben, bevor sie weiterarbeiten. Falls eine Gruppe Schwierigkeiten hat, können sie mich (Lehrperson) auch gerne Fragen. [br]Möchte man trotzdem sicher gehen ob alle SchülerInnen die Kompetenzen erfüllt haben, kann man zum Beispiel die einzelnen Aufgaben von den Gruppen präsentieren lassen. Vor allem die Lösung des Problems sollte mit der gesamten Klasse genauer besprochen werden, da es sein kann, dass nicht alle die Lösung verstanden haben bzw. es sich vorstellen können. [br]Genauso könnte man in der nächsten Einheit noch weitere Aufgaben den SchülerInnen aushändigen, die nach dem selben Prinzip wie das Ziegenproblem funktionieren. Somit kann auch wirklich festgestellt werden, ob die SchülerInnen dieses Problem durchschaut und verstanden haben.

[url=https://ggbm.at/G8EfEk6t]Arbeitsblätter zum Ausdrucken[/url] (Schülerversion)[br][url=https://ggbm.at/gQXPD6fW]Lösungen der Arbeitsblätter[/url] (Lehrerversion)[br][br]Quellen:[br]Mathematik lehren (1997), Ausgabe 85: Drei Türen, zwei Ziegen und eine Frau[br]Stochastik in der Schule (1993): Wahrscheinlichkeit und Rationalität - Einige Randbemerkungen zu einem schwierigen Verhältnis[br]Mathematik-Labor, Universität Koblenz-Landau (2012): Station "Ziegenproblem"[br][br]Weiterführende Aufgaben:[br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenenparadoxon]Gefangenenparadoxon[/url][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Junge-oder-M%C3%A4dchen-Problem]Junge-oder-Mädchen-Problem[/url]