Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Mittelunkt M denselben Abstand r haben heißt Kreis. Der Abstand r heißt Radius eines Kreises. 

hier einige Beispiele:[br]- Uhr [br]- Münzen [br]- Teller [br]- Räder [br]- Topfdeckel [br]- CDs/DVDs [br]- Frisbee [br]- Kaffeetassenoberfläche [br]- Linsen in Brillen oder Kameras [br]- Luftballonöffnung

Gerade Klassifizierung Begründung[br] a  Tangente  genau ein Berührungspunkt mit Kreislinie[br] b  Sekante   zwei Schnittpunkte mit Kreislinie[br] c  Passante   kein Schnitt- oder Berührungspunkt mit Kreislinie[br] d  Sekante   zwei Schnittpunkte mit Kreislinie

Eine [b]Sekante [/b]ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet. [br]Eine [b]Passante [/b]ist eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt.[br]Eine [b]Tangente [/b]ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Der Punkt, in dem die Tangente den Kreis berührt heißt Berührungspunkt. [br][br]

a) Die Länge der Strecken und Sehnen ist in der Grafik ablesbar. [br] Die Sehnen AB und EF sind gleichlang, beide verlaufen durch den Mittelpunkt M.[br]  Die Strecken EM und FM sind gleichlang - beide haben als Endpunkt den Mittelpunkt M[br][br]b) r=4 LE[br][br]c) 1[math]\cdot[/math]EF=2[math]\cdot[/math]FM=2[math]\cdot[/math]EM[br][br]d) [table][tr][td]Radius r[/td][td]Durchmesser d[/td][/tr][tr][td][b]4cm[/b][/td][td]8cm[/td][/tr][tr][td][b]17,8cm[/b][/td][td]35,6cm[/td][/tr][tr][td]16,7cm[/td][td][b]33,4cm[/b][/td][/tr][tr][td]0,93dm[/td][td][b]1,86dm[/b][/td][/tr][tr][td][b]3,77m[/b][/td][td]7,54m[/td][/tr][tr][td]38,88m[/td][td][b]77,76m[/b][/td][/tr][/table]e) Die Länge des Durchmessers ist doppelt so groß, wie die Länge des Radius eines Kreises. Keine Sehne[br] ist länger als der Durchmesser eines Kreises.

Wir befinden uns in der ebenen Geometrie.[br]Sei der Ball als Kreis und die Torlinie als Gerade vereinfacht.[br]Der Ball bewegt sich von der Linie in Richtung Tor und schneidet die Linie bereits:[br]Ein erzieltes Tor ist gültig, wenn der Abstand zwischen Gerade und Kreis größer/gleich dem Radius ist.[br]Ist die Torlinie eine Sekante im Bezug auf den Kreis ist es offensichtlich kein Tor.[br]Sobald die Torlinie eine Tangente bildet, gilt das Tor, da der Kreis mit vollem Durchmesser über die Linie ist - eine sehr schwere Entscheidung (VAR nötig)[br]Bildet die Torlinie eine Passante und ist der Kreis auf der richtigen Seite, ist es offensichtlich ein Tor und gut erkennbar.

Der Zentriwinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen[br]Peripheriewinkel. In deiner Zeichnung ist also der Winkel [math]\alpha=...[/math] (∠BMC)[br]doppelt so groß wie der Winkel [math]\beta=...[/math] (∠BAC) [br][br]

[math]A=\pi\cdot r^2\cdot0,75[/math]

[math]A=\pi\cdot r^2=\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2[/math][br][br]a) wird der Radius verdreifacht, wird der Flächeninhalt verneunfacht: [math]A=\pi\cdot\left(3r\right)^2=\pi\cdot3^2\cdot r^2=9\cdot\pi\cdot r^2[/math][br][br]b) wird der Durchmesser halbiert, wird der Flächeninhalt geviertelt : [math]A=\pi\cdot\left(\frac{\frac{d}{2}}{2}\right)^2=\pi\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^2[/math]

[math]A_{Kreis}=\pi\cdot r^2=28,27cm^2[/math][br][math]A_{Quadrat}=a^2=9cm^2[/math][br][math]A_{Kreis}-A_{Quadrat}=19,27cm^2[/math]

[b]1. Begriffe und Definitionen (4 Punkte)[/b][br][br]a) [b]Definitionen:[/b][br][list][*][b]Radius[/b]: Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis.[/*][*][b]Durchmesser[/b]: Die längste Sehne eines Kreises, die durch den Mittelpunkt verläuft. Er ist doppelt so lang wie der Radius.[/*][*][b]Tangente[/b]: Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt.[/*][*][b]Sekante[/b]: Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet.[/*][*][b]Passante[/b]: Eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet und nicht berührt.[/*][/list][br]b) [b]Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius:[/b][br]d=2rd = 2rd=2r (Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.)[br][br][b]2. Konstruktion eines Kreises[/b] [i](3 Punkte)[/i][br][br][list][*]Ein Kreis mit [b]Radius 4 cm[/b] wird gezeichnet.[/*][*][b]M[/b] wird als Mittelpunkt markiert.[/*][*]Eine [b]Sehne[/b] (eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Kreis) wird eingezeichnet.[/*][*]Eine [b]Tangente[/b] wird eingezeichnet – sie berührt den Kreis in genau einem Punkt.[/*][*]Eine [b]Sekante[/b] wird eingezeichnet – sie schneidet den Kreis in zwei Punkten.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 0,5 Punkte pro richtigem Element (Kreis, Sehne, Tangente, Sekante, richtige Beschriftung).[br][br][b]3. Satz des Thales[/b] [i](4 Punkte)[/i][br][br]a) [b]Definition[/b]:[br]Der Satz des Thales besagt: „Ein Dreieck, dessen Hypotenuse der Durchmesser eines Kreises ist, hat immer einen rechten Winkel gegenüber dem Durchmesser.“[br][br]b) [b]Konstruktion:[/b][br][list][*]Ein Kreis mit Durchmesser [b]6 cm[/b] wird gezeichnet.[/*][*]Zwei Punkte AAA und BBB auf dem Kreis markieren den Durchmesser.[/*][*]Ein beliebiger Punkt CCC auf dem Kreis wird gewählt.[/*][*]Die Strecken ACACAC und BCBCBC werden eingezeichnet.[/*][*]Der rechte Winkel wird markiert.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b][br]1 Punkt für richtige Definition, 3 Punkte für korrekte Konstruktion.

[b]4. Kreisberechnungen (6 Punkte)[br][br][/b][list][*][b]Gegeben:[/b][list][*]d=60d = 60d=60 cm → [b]Radius[/b]: r=d2=30r = \frac{d}{2} = 30r=2d​=30 cm[/*][*][b]Kreisumfang[/b]:[br]U=2πr=2π⋅30=188.4 cmU = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 30 = 188.4 \text{ cm}U=2πr=2π⋅30=188.4 cm[/*][*][b]Flächeninhalt des Kreises[/b]:[br]A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 30^2 = 2827.4 \text{ cm}^2A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2[/*][*][b]Strecke nach 10 Umdrehungen[/b]:[br]10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m10 \cdot U = 10 \cdot 188.4 = 1884 \text{ cm} = 18.84 \text{ m}10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 2 Punkte pro richtige Berechnung.[br][b][br]5. Konstruktion von Tangenten[/b] [i](5 Punkte)[/i][br][b][br]Schritte:[/b][br][list=1][*]Zeichne den Kreis mit [b]Radius 5 cm[/b] und Mittelpunkt [b]M[/b].[/*][*]Markiere den Punkt [b]P[/b], der [b]8 cm vom Mittelpunkt M entfernt[/b] ist.[/*][*]Zeichne die [b]Strecke MP[/b].[/*][*]Konstruieren der [b]Mittelsenkrechten[/b] von [b]MP[/b] (halbiere MP und zeichne eine Senkrechte durch den Mittelpunkt).[/*][*]Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit [b]MP[/b] ist der Mittelpunkt eines neuen Kreises, der durch [b]M und P[/b] verläuft.[/*][*]Zeichne diesen Hilfskreis.[/*][*]Die Schnittpunkte dieses Kreises mit dem ursprünglichen Kreis sind die Berührungspunkte der [b]Tangenten[/b].[/*][*]Ziehe die beiden [b]Tangenten[/b] von [b]P[/b] zu diesen Berührungspunkten.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 5 Schritte je 1 Punkt.

[b]6. Beweis des Peripheriewinkelsatzes[/b] [i](6 Punkte)[/i][br][br][list][*][b]Formulierung:[/b][br]„Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ist immer halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.“[/*][*][b]Beweisidee:[/b][list][*]Der Zentriwinkel wird in zwei gleich große Teile zerlegt.[/*][*]Jeder Teil entspricht einem Peripheriewinkel.[/*][*]Daraus folgt: [b]Zentriwinkel = 2 × Peripheriewinkel[/b].[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 1 Punkt für die richtige Formulierung, 5 Punkte für den mathematischen Beweis.[br][br][b]7. Optimales Pizza-Angebot[/b] [i](5 Punkte)[/i][br][br][list][*][b]Berechnung der Flächeninhalte:[/b][br][list][*]Klein:[br][math]A=\pi\left(\frac{20}{2}\right)^2=314.16cm^2[/math][/*][*]Mittel:[br][math]A=\pi\left(\frac{30}{2}\right)^2=706.86\text{ cm}^2A[/math][/*][*]Groß:[br][math]A=\pi\left(\frac{40}{2}\right)^2=1256.64\text{ cm}^2[/math][/*][/list][/*][*][b]Preis pro cm²:[/b][br][list][*]Klein: 5.99/314.16  ≈0.019 €/cm²[/*][*]Mittel: 8.99/706.86 ≈0.0127 €/cm²[/*][*]Groß: 11.99/1256.64 ≈0.0095 €/cm²[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Ergebnis:[/b] Die [b]größte Pizza ist am günstigsten pro cm²[/b].[br][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 2 Punkte für richtige Flächenberechnung, 2 Punkte für Preisberechnung, 1 Punkt für die korrekte Interpretation.