Legyen adott a P-modell két egyenese t[sub]1[/sub] és t[sub]2[/sub]! Legyen az ABC Δ t[sub]1[/sub]-re vonatkozó tükörképe A’B’C’ Δ , majd ennek t[sub]2[/sub]-re vonatkozó tükörképe A''B''C'' Δ.[br] Milyen egybevágósági transzformáció  az ABC Δ → A''B''C''Δ hozzárendelés?

A [i]t[sub]1[/sub][/i] tükörtengelyt két, az alapkörön mozgatható ([b][color=#0000ff]◀[/color][/b] jelű) végtelen távoli pontjával adtuk meg, amelyen mozgathatjuk az [i]O[/i] pontot. [br][br]A[i] t[sub]2[/sub][/i] tengelyt egyik végtelen távoli pontja és [i]O[/i] pont határozza meg úgy, hogy ha [i]metszők[/i] akkor[i] t[sub]2[/sub][/i] illeszkedik[i] O[/i]-ra, ha[i] ultrapárhuzamosak ([/i]másképpen[i]: eltérők) [/i], akkor merőleges az O pontra illeszkedő, [i]t[sub]1[/sub][/i]-re merőleges[i] e[/i] egyenesre. (Korábban láttuk, hogy ha két egyenes merőleges ugyanarra az egyenesre, akkor egymáshoz viszonyított helyzetük ultrapárhuzamos. Ezt használtuk ki a két tengely megadásához.[br][br]Mindkét általános helyzetnek az a speciális esete, ha az O pont t[sub]1[/sub]-nek valamelyik végtelen távoli pontja. Ezért a fenti két eset közötti kapcsolót ebbe az esetbe építettük be: ha [i]O[/i]-t úgy mozgatjuk, hogy essen egybe[i] t[/i]1 valamelyik végtelen távoli pontjával, akkor onnan visszahozva ha [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] korábban metszők voltak, akkor ultrapárhuzamosak lesznek és viszont.[br][br] Ebben az átmeneti helyzetben [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] [i]aszimptotikusan párhuzamos ([/i]másképpen:[i] egyirányú).[/i] (A GeoGebra programozása iránt érdeklődő olvasóinknak javasoljuk, hogy töltsék le a fenti GeoGebra fájlt. Ebből ötletet meríthetnek egy ilyen kapcsoló elkészítésére.)[br][br]Mindkét általános esetben a [i]t[/i][sub]2 [/sub]tengely végtelen távoli pontjának a mozgatásával elérhető, hogy [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] essen egybe, vagy ha metszők , akkor legyenek merőlegesek egymásra. (Mozgassuk[i] t[sub]2[/sub][/i] végtelentávoli pontját a ⊗ jelre.)

Az ABC Δ és A''B''C'' Δ kapcsolata fix t[sub]1[/sub] és mozgó t[sub]2[/sub] tengely mellett.[br][br]Vezessük körbe a [i]t[sub]2[/sub][/i] tengely végtelen távoli pontját a P-modell alapkörén, vagy kapcsoljuk be az animációt.[br][br][url=https://www.geogebra.org/m/U69vbszC]Már korábban is láttuk[/url], hogy ha [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] metsző, akkor[i] t[sub]2[/sub][/i] mozgatása során a háromszög csúcsai egy-egy O középpontú H-kört írnak le. [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/x83GZTmv]Azt is tapasztaltuk[/url], hogy ha [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] ultrapárhuzamos, akkor e mozgás közben az [i]A. B, C [/i]pontok pályája egy-egy[i] hiperciklus,[/i] amely a P-modellen olyan körív, amely illeszkedik az [i]e[/i] egyenes végtelen távoli pontjaira.[br][br] A hiperbolikus sík legérdekesebb mozgását akkor kapjuk, ha [i]t[sub]1[/sub][/i] és [i] t[sub]2[/sub][/i] [i] aszimptotikusan párhuzamos.[/i] Ekkor t[sub]2[/sub]- végtelen távoli pontjának a mozgása során az A,B,C pontok egy-egy [i]paraciklus[/i]t írnak le. Ennek a P-modellbeli képe olyan körvonal, amely érinti a modell alapkörét. A már megismert [b]H_Kör[][/b] eljárással is előállíthatunk paraciklust, ha a H-kör középpontja végtelen távoli, vagyis illeszkedik a P-modell alapkörére (mint körvonalra).[br][br]Belátható, hogy H-egyenesekre vonatkozó tükrözésekkel bármely paraciklus átvihető bármelyik másikba, így bármely két paraciklus egybevágó. Mivel bármely két aszimptotikusan párhuzamos egyenes szöge és távolsága is nullának tekinthető, ezért a paraciklus menti mozgásnál nem értelmezhető nagyságrendi összehasonlítás. (Nem mérhető sem szöggel, sem távolsággal.)[br]