Gegeben ist ein zweistufiger Produktionsprozess, der sich durch die Matrizen [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] beschreiben lässt:[br][math]\vec r \overset{\mathbf A}{\longrightarrow} \vec z \overset{\mathbf B}{\longrightarrow} \vec p[/math] bzw. [math]\vec r \overset{\mathbf C}{\longrightarrow} \vec p[/math][br]Dann gelten die Gleichungen [math]\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}[/math], sowie [math]\vec{r}=\mathbf{A}\cdot\vec{z}[/math] und [math]\vec{z}=\mathbf{B}\cdot\vec{p}[/math] und [math]\vec{r}=\mathbf{C}\cdot\vec{p}[/math][br]Im [url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/ukuh39dz]vorausgehenden Kapitel[/url] haben wir mit Hilfe der Kostenvektoren [math]\vec{k}_R[/math], [math]\vec{k}_Z[/math], [math]\vec{k}_E[/math] und [math]\vec{k}_V[/math] die variablen Kosten des Produktionsprozesses berechnet: [math]K_V=\vec{k}_V\cdot\vec{p}[/math] In der Regel sind auch die Fixkosten [math]K_{fix}[/math] bekannt, und somit die gesamten Kosten [math]K=K_V+K_{fix}[/math].

Der [b][color=#980000]Erlös[/color][/b] errechnt sich mit [b]Preis mal Menge[/b] der verkauften Ware.[br]Wenn mehrere Produkte verkauft werden, dann hat jedes Produkt einen eigenen Preis, wir haben es also mit mehreren Preisen zu tun. Diese werden wieder in einem Vektor zusammengefasst, dem [color=#980000][b]Verkaufspreisvektor[/b][/color] [math]\vec{v}[/math].[br]Natürlich wäre es auch naheliegend dem Preisvektor den Namen "p" zu geben, aber so heißt ja schon der Produktionsvektor [math]\vec{p}[/math].[br][br]Der Verkaufspreisvektor [math]\vec v=\begin{pmatrix}p_1&p_2&...\end{pmatrix}[/math] ist wieder ein Zeilenvektor - wie immer bei der Betrachtung von Geld. [math]p_1[/math] ist der Preis für das erste Produkt, [math]p_2[/math] für das zweite usw.[br][br]Der Erlös ist das Matrizenprodukt aus dem Verkaufspreisvektor mit dem Produktionsvektor:[br][math]\text{\Large{$\boxed{E = \vec v\cdot \vec p}$}}[/math]

Der [b][color=#980000]Gewinn[/color][/b] ist [b]Erlös minus Kosten[/b]:[br] [math]\text{\Large{$\boxed{G=E-K}$}}[/math]. [br][br]Der [b][color=#980000]Deckungsbeitrag[/color][/b] ist die [b]Differenz von Erlös und den [i]variablen[/i] Kosten[/b]:[br] [math]\text{\Large{$\boxed{D=E-K_V}$}}[/math].[br]Manchmal wird [b][color=#980000]Stückdeckungsbeitrag[/color][/b] auch der Deckungsbeitrag jedes einzelnen Produktes angegeben. Dieser besteht wieder aus mehreren Zahlen und ist daher ein Vektor. Der Stückdeckungsbeitrag ist der Verkaufspreisvektor minus den Vektor der variablen Kosten:[br] [math]\text{\Large{$\boxed{\vec d=\vec v-\vec k_V}$}}[/math].[br]

Im folgenden Applet können die Berechnung der Kosten, des Erlöses, des Gewinns und des Deckungsbeitrages geübt werden: [br]Gegeben sind die Matrizen [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] eines zweistufigen Produktionsprozesses. Berechnen Sie [br][list][*]den variablen Kostenvektor [math]\vec{k}_V[/math] und die Kosten [math]K[/math] [/*][*]den Erlös [math]E[/math] [/*][*]den Gewinn [math]G[/math] [/*][*]den Stückdeckungsbeitragsvektor [math]\vec{d}[/math] und den Deckungsbeitrag [math]D[/math] [br][/*][/list]