Daiane Frighetto, Sep 29, 2015

O desenho técnico e geométrico possibilita representar um determinado problema de forma visível para que a partir dele criem-se estratégias de pensamento, consequentemente de resolução de problemas. Muitas vezes é através da visualização, da posição e da variação de um objeto que identificamos os dados para solucionar o problema ou exercício proposto. Nas disciplinas de Cálculo, tanto na Física como na Matemática, a exploração e interpretação do desenho geométrico, bem como a interceptação dos planos é fundamental. Geralmente as dificuldades encontradas nessa disciplina não estão na resolução do exercício em si, mas na construção e interpretação da figura a ser esboçada. Visto essa necessidade, desenvolveu-se uma pesquisa para auxiliar os acadêmicos a aprenderem e aprimorarem técnicas de desenho para facilitar na compreensão e melhoria do desempenho não só nas disciplinas de Cálculo, como também nas de Geometria. Dessa forma propõem-se um curso de extensão de desenho técnico e geométrico que aborda desde as construções clássicas até as representações gráficas em três dimensões. O conhecimento adquirido com o curso poderá futuramente auxiliar como recurso didático na prática docente em sala de aula.

As formas geométricas estão em toda parte. A Geometria foi desenvolvida a partir de observações exaustivas para suprir a necessidade do homem em dominar as propriedades do espaço utilizando o sistema de pontos, linhas, superfícies e sólidos. Para os matemáticos da Antiguidade, foi imprescindível que houvesse métodos de construções geométricas necessários ao entendimento e enriquecimento teórico da Geometria, e ao desenvolvimento das soluções dos problemas geométricos. A Geometria como ciência dedutiva teve início na Grécia Antiga, aproximadamente no século VII a.C., graças aos esforços de filósofos predecessores de Euclides, como Tales de Mileto, Pitágoras e Eudoxio. Por volta de 300 a.C., Euclides deu uma grande contribuição para a Geometria ao escrever o livro Elementos que é constituído por 13 volumes. Nesta obra, o autor descreveu a Geometria de modo elaborado e estabeleceu um método de demonstração clara e rigorosa. Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A partir da Geometria Grega foi desenvolvido o Desenho Geométrico a ser tratado nesta apostila. Não havia entre os gregos uma diferenciação entre Desenho Geométrico e Geometria. O Desenho Geométrico era utilizado na forma de construções geométricas para solucionar um problema teórico dos textos de Geometria. Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é uma parte da Geometria que, desde a Antiguidade até os dias atuais, propõe-se a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática que permeiam inúmeros âmbitos do cotidiano. A representação de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais evoluiu gradualmente através dos tempos. Conforme histórico feito por HOELSCHER, SPRINGER E DOBROVOLNY (1978) um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevação está incluído no álbum de desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo no ano de 1490. No século XVII, por patriotismo e visando facilitar as construções de fortificações, o matemático francês Gaspar Monge, que além de sábio era dotado de extraordinária habilidade como desenhista, criou, utilizando projeções ortogonais, um sistema com correspondência biunívoca entre os elementos do plano e do espaço. O sistema criado por Gaspar Monge, publicado em 1795 com o título “Geometrie Descriptive” é a base da linguagem utilizada pelo Desenho Técnico. No século XIX, com a explosão mundial do desenvolvimento industrial, foi necessário normalizar a forma de utilização da Geometria Descritiva para transformá-la numa linguagem gráfica que, a nível internacional, simplificasse a comunicação e viabilizasse o intercâmbio de informações tecnológicas.

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É uma forma de expressão gráfica que tem por finalidade a representação de formas, dimensões e posições de objetos de acordo com as diferentes necessidades requeridas pelas diversas áreas do conhecimento como nas ciências exatas, modalidades de engenharia e também da arquitetura. Utiliza-se de um conjunto constituído por linhas, números símbolos e indicações escritas normalizadas internacionalmente. O desenho técnico se subdivide em dois tipos: • Desenho projetivo: são os desenhos resultantes de projeções do objeto em um ou mais planos de projeção e correspondem às vistas ortográficas e às perspectivas. Compreende a maior parte dos desenhos feitos nas indústrias, desenho mecânico, de máquinas, de estruturas, arquitetônico, elétrico/eletrônico e de tubulações. • Desenho não projetivo: na maioria dos casos corresponde a desenhos resultantes dos cálculos algébricos e compreendem os desenhos de gráficos, diagramas etc. São utilizados para representação das diversas formas de gráficos, diagramas, esquemas, ábacos, fluxogramas, organogramas etc. Atualmente, na maioria dos casos, os desenhos são elaborados por computadores, pois existem vários softwares que facilitam a construção e apresentação de desenhos técnicos. Para transformar o desenho técnico em uma linguagem gráfica foi necessário padronizar seus procedimentos de representação gráfica. Essa padronização é feita por meio de normas técnicas seguidas e respeitadas internacionalmente. O desenho técnico é um ramo especializado do desenho, caracterizado pela sua normalização e pela apropriação que faz dos seguintes conteúdos: • Geometria Descritiva: vistas ortogonais, cortes, seções, determinação de distâncias, áreas e planificação de sólidos. • Perspectivas: métodos ilustrativos de representação do espaço e de objetos:  Perspectiva isométrica: método de representação paralela que se desenvolve a 30º, cujas medidas dos eixos principais permanecem inalteradas.  Perspectiva cavaleira: método paralelo mais comumente representado a 30º, 45º e 60º, que adota reduções para as diagonais da profundidade.  Perspectiva do arquiteto (cônica): método com dois pontos de fuga. • Desenho Geométrico: construções fundamentais com régua e compasso.

• 1. Desenho Técnico

De acordo com sua finalidade, o desenho pode ser classificado em três áreas gerais: • Desenho de Expressão ou Artístico; • Desenho de Representação ou Técnico; • Desenho de Resolução ou de Precisão. O Desenho de Resolução ou de Precisão abrange o Desenho Geométrico, a Geometria Descritiva e a Perspectiva. Especificamente, o Desenho Geométrico é um conjunto de técnicas utilizadas para construção de formas geométricas desenvolvidas na resolução de problemas para obter-se respostas tão precisas quanto possível. O processo de Desenho Geométrico baseia-se nas construções com régua e compasso regidas pelos três primeiros dos cinco Postulados de Euclides, sendo eles: a. Traçar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer; b. Estender um segmento de reta continuamente em uma linha reta; c. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio; d. Todos os ângulos retos são iguais; e. Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas faz ângulos internos do mesmo lado cuja soma seja menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, encontram-se no mesmo lado em que a soma dos ângulos internos é menor do que dois ângulos retos.

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O Desenho Geométrico ocupa lugar de destaque no estudo e na prática da Matemática devido ao fato de muitos problemas técnicos poderem ser resolvidos com maior rapidez e clareza por meio de processos gráficos do que por processos analíticos. O Desenho Geométrico é uma das bases que sustentam o Desenho Técnico, o Desenho de Resolução (Grafostática, Óptica Gráfica e Namogra a etc.) e ainda o Desenho Artístico. A exatidão e a precisão exigidas no Desenho Geométrico fazem dele um aliado importante na aplicação de conceitos da Geometria em áreas significativas do conhecimento humano, como a Arquitetura, a Engenharia, a Matemática, entre outras. Por meio do Desenho Geométrico são encontradas respostas precisas para problemas de natureza prática ou teórica. O exercício intelectual feito na busca por soluções exatas permite que o estudante desenvolva a habilidade de visualizar, prever e gerar novas ideias.

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O desenho técnico e geométrico é uma ferramenta que possibilita ser utilizado em qualquer sala de aula, seja ela moderna ou não, pois necessita de quadro e giz para acontecer. No entanto, para que essa aula seja de fato significativa, é imprescindível que o professor tenha domínio do conteúdo, objetivos e finalidades pré-definidos. O desenho possibilita representar um determinado problema de forma visível e até mesmo lúdica. A partir dele e da geometria, cria-se estratégias e ocorre a esquematização do pensamento, consequentemente de resolução de problemas. É uma maneira de vermos e identificarmos por exemplo a posição, a variação, a área, o volume de um objeto. Muitas vezes é através dele que identificamos os dados para encontrarmos a solução do problema ou exercício proposto. Nas disciplinas de Cálculo, tanto na Física como na Matemática a exploração e interpretação do desenho geométrico é fundamental. Geralmente a dificuldade nesta disciplina não está na resolução do exercício em si, mas está em construir e entender a região ou o desenho. Visto essa necessidade de aprendermos e praticarmos técnicas de desenho para facilitar a compreensão e melhorar o desempenho não só nas disciplinas de Cálculo mas as de Geometria também, propôs-se esse curso de desenho técnico e geométrico. Além disso esse conhecimento poderá futuramente servir de recurso didático na prática docente em sala de aula.

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Cada tipo de desenho tem seus próprios postulados, inclusive seus próprios instrumentos de trabalho. Para que o estudo do Desenho Geométrico possa ser encadeado de forma lógica e racional, visando a construção do conhecimento e o desenvolvimento do raciocínio gráfico, é necessária a adoção de alguns postulados, baseados na teoria e consagrados pelo uso. Postulados são proposições aceitas sem demonstração, inspiradas na experiência e na observação do matemático, escritor e geômetra grego Euclides: [b]1º Postulado:[/b] Os instrumentos permitidos no Desenho Geométrico são a régua e o compasso comum e de ponta seca, com os quais podem ser executadas as seguintes operações gráficas: • Assinalar um ponto geométrico, pela intercessão de duas linhas; • Traçar uma reta completamente arbitrária ou passando por um ponto; • Traçar uma reta por dois pontos conhecidos; • Traçar um arco de circunferência, de centro e raio arbitrários ou um deles conhecido; • Traçar um arco de circunferência de centro e raio conhecido; • Transportar um segmento conhecido. OBS: A graduação da régua somente deve ser utilizada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para conferir uma resposta. [b]2º Postulado:[/b] Não é permitido fazer contas com as medidas dos dados devendo a resposta ser obtida graficamente, entretanto, são permitidas considerações algébricas na dedução ou justificativa de um problema. Ex. Determinação do ponto médio de um segmento. [b]3º Postulado: [/b]Não é permitido obter respostas “à mão livre” ou “por tentativa e erro”. Esses “métodos” podem levar à particularização da solução, que pode não se aplicar quando se alteram os dados do problema. [b]Convenções[/b] Ao resolver graficamente um problema é recomendado nomear, ou seja, colocar letras, nos dados e nas respostas, nos pontos e linhas auxiliares. Cada figura geométrica possui uma convenção específica, conforme a imagem a seguir:

• 1. Tabela

Na prática do Desenho Geométrico, ter o material adequado é fundamental, mas não suficiente; é imprescindível saber usá-lo de forma correta. [b]a) Superfície de trabalho:[/b] deve ser plana, regular e limpa. O papel pode ser fixado sobre a mesa de trabalho com uso de fita adesiva em suas extremidades. [b]b) Lápis ou Lapiseira:[/b] Priorizar o uso de lápis ou lapiseira com ponta de, no máximo, 0,5mm e grafite com dureza média, tipo HB. Ao utilizar o lápis ou lapiseira, apoie bem a mão sobre o papel e trace da esquerda para direita. [b] Lápis 2B:[/b] usado para esboçar o desenho, já que não deixa “marcações” na folha caso precise apagar. [b]Lápis HB:[/b] usado para contornar e destacar arestas quando o desenho já está pronto. [b]c) Borracha.[/b] [b]d) Régua.[/b] [b]e) Compasso:[/b] É importante que o compasso apresente abertura firme, e que a ponta de grafite esteja lixada corretamente. O raio do compasso deve ser ajustado fora do desenho em resolução. O giro do compasso deve ser conduzido apenas no sentido horário. Já na prática do Desenho Técnico, além do material já citado acima, temos ainda: [b]f) Esquadro de 45º:[/b] é uma régua em forma de um triângulo retângulo, que possui um ângulo reto e dois ângulos de 45º. [b]g) Esquadro de 60º:[/b] é uma régua em forma de um triângulo retângulo, que possui um ângulo reto, um ângulo de 60º e outro de 30º. [b]h) Transferidor:[/b] é um instrumento utilizado para medir o comprimento de arcos e marcação de ângulos. [b]Tipos de linhas[/b] Na resolução gráfica dos problemas de Desenho Geométrico devem ser utilizadas somente linhas contínuas estreitas, que devem ser: [*]Forte para os dados e resultados, ou seja, para destacar o desenho desejado; [*]Leve para as linhas auxiliares;

• 1. Compasso
• 2. Esquadros
• 3. Lápis
• 4. Régua
• 5. Transferidor

O Geogebra é um software livre que permite combinar conceitos de geometria e álgebra em um mesmo espaço. Foi criado por Markus Hohenwarter para ser utilizado, entre outros, no ambiente de sala de aula. O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos...., assim como permite inserir funções e alterar todos esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser inseridas através de sua barra de comandos.

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As construções fundamentais são aquelas básicas, necessárias para a resolução dos problemas de Desenho Geométrico e também de outros tipos de desenho. A seguir, serão apresentados os processos utilizados para a elaboração das respectivas construções com régua e compasso:

• 1. Construção de Perpendicular
• 2. Ponto médio de um segmento
• 3. Construção de Mediana
• 4. Construção de Bissetriz
• 5. Divisão de Segmentos em 4 partes iguais
• 6. Ângulos de 45º e 60º
• 7. Retas paralelas construídas com régua e compasso
• 8. Construção de um Quadrado
• 9. Pentágono Regular
• 10. Pentágono 2
• 11. Hexagono Regular
• 12. Hexágono regular
• 13. Construção do triângulo equilátero com régua e compasso
• 14. Construção de retas paralelas II

• 1. Projeção Ortogonal

• 1. Perspectiva Cavaleira

• 1. Perspectiva Isométrica

Na Licenciatura em Física e em Matemática, o desenho técnico e geométrico possui importância significativa, pois muitas vezes dependemos da construção e interpretação corretas de um desenho (ou gráfico) para conseguirmos solucionar o exercício. O desenho é uma ferramenta necessária para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral, pois os sólidos geométricos desenhados em uma, duas ou três dimensões (1D, 2D e 3D) nos eixos x, y, e z, possibilitam encontrar a região bem como os limites de integração, a área e o volume delimitados por curvas. Contudo, os tópicos trabalhados anteriormente como as construções com régua e compasso, as perspectivas e projeções, possibilitarão o desenvolvimento manual das técnicas de desenho além de constituirmos a visão espaço-geométrica mentalmente.

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O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. O Calculo foi “inventado” inicialmente para atender às necessidades matemáticas (basicamente mecânicas) dos cientistas dos séculos XVI e XVII principalmente Isaac Newton e Gottfried Leibniz. Isaac Newton, inglês, nasceu no Natal de 1642, ano em que faleceu Galileu. Gottfried Wilhelm von Leibniz, alemão, nasceu no dia 1º de julho de 1646. Newton fez descobertas fundamentais em óptica, matemática, gravitação, mecânica e dinâmica celeste. Era um cientista. Leibniz tinha interesse por história, economia, teologia, linguística, biologia, geologia, direito, diplomacia, política, matemática, filosofia e metafísica. Era um filósofo. Alguns autores consideram-no como o último gênio universal. Inicialmente o cálculo diferencial lidou com o problema de calcular taxas de variação. Ele permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, calculassem grandezas como a velocidade e a aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance. Além disso, com a ajuda do cálculo foi possível prever quando planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si, etc. O cálculo integral lidou com o problema de determinar uma função a partir de informações a respeito de suas taxa de variação. Permitiu que as pessoas calculassem, por exemplo, a posição futura de um corpo a partir da sua posição atual e do conhecimento das forças que atuam sobre ele, determinassem as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e determinassem o volume e massa de sólidos arbitrários.

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Derivada “[...] é a ferramenta matemática que estuda a taxa segundo o qual varia uma quantidade em relação a outra. O estudo de taxas de variação está bastante relacionado com o conceito geométrico de uma reta tangente e uma curva [...].”(DAVIS 2014, p. 131, V.I).

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A integral de uma função é utilizada para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. Conforme Davis (2014, p. 363, V.II) “A integral definida pode ser calculada encontrando-se uma antiderivada do integrando e, então, subtraindo-se o valor dessa antiderivada no extremo inferior da integração de seu valor do extremos superior de integração”.

• 1. Integral Simples
• 2. Integral Dupla
• 3. Integral Tripla

• 1. Atividades

• 1. Referências