[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][b][size=100][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜0/0は不定形＞[br][/size][/b]x→0のとき、[br]sinx,tanx,1-cosx、ｘ，x２はすべて→0。[br]だから、それらを分母、分子にする関数は[color=#0000ff][b]代入[plugging][/b][/color]によって極限値を求めようとすると、[br]sinx/x, (1-cosx)/x[sup]2[/sup],tanx/xは、[b][size=150]0/0[/size][/b]となってしまう。[br]これを不定形という。[br][color=#0000ff][b]ｘ→aのときの0/0の極限値を推定するためには、ｘにaを代入するのではなく、[br]aに近い小さな数を代入[plug]したときの分母と分子の比の値から推測できることがある。[br][/b][/color]これは収束が速いとき。[br]（例）[br]「x→5のときのf(x)=(ｘ[sup]2[/sup]-25)/(x-5）の極限値」を推測すると？[br]　x=5.0002を入れると、f(x)=10.0002。極限値は10と推測できるね。[br][color=#0000ff]（例)[/color][br]「ｘ→6のとき、p(x)=(x[sup]2[/sup]-5x-6）/sin(x-6)の極限値」を推測すると？ [br]　ｘ＝6.000003を入れると、p(x)=7.000002。極限値は７と推測できる。[br]（例）[br]「x→０のときのf(x)=(1/(x+4)-1/4)/xの極限値」を推測すると？[br]　x=0.0001を入れるとf(x)=-0.0624998となり極限値は-1/16と推測できるね。[br][size=150]＜[b]sinx/x→1＞[br][/b][/size][color=#0000ff][size=150][b]ｘ→0のとき[/b]sinx/x→1[br][size=100]（理由1）[br][/size][/size][/color]これは、教科書などによくみかける図形を使った説明ですよ。[br]１と１でサンドイッチして１にする作戦です。[br]角Aがx（ラジアン）で、AB=AC＝１の二等辺三角形ABCをかくと弧BC=ｘとなる。[br]ｘ＞０のとき、[br]角Aが共通でBが直角の直角三角形ABDをかく。[br]△ABCの面積<扇形の面積<△ABDの面積となるので、1/2・1・1sinx<1/2・1・x<1/2・1・tanx[br]式変形にようって、sinx/xは、cosxと１に挟まれる。そしてx→0のときのcosxの極限値＝1。[br]だから、挟み撃ちでx→0のときのsinx/xの極限値=1[br]ｘ＜０のときは、t=-xなどとおいて、式変形で証明できる。[br][color=#0000ff]（理由2）[/color][br]テーラー展開を使うと、[br]sinx=x[sup]1[/sup]/1!-x[sup]3[/sup]/3!+x[sup]5[/sup]/5!-x[sup]7[/sup]/7!+.......[br]x→0のとき、[br]|sinx/x-1| <= |((x-x[sup]3[/sup]/6+x[sup]5[/sup]/120)/x-1|=|-x[sup]2[/sup]/6+x[sup]4[/sup]/120|<|x[sup]2[/sup]/6|→0[br][br]また、[br][size=150][size=150][b]＜(1-cosx)/x[/b][sup]2[/sup][b]→1/2＞[br][color=#0000ff][b]ｘ→0のとき[b](1-cosx)/x[/b][sup]2[/sup][b]→1/2[/b][/b][br][/color][/b][size=100][color=#0000ff]（理由1）[/color][/size][/size][color=#0000ff][b]オイラー[Euler][/b][/color][size=150][size=100][b]はx=nzとおき、[br]（cosz+isinz)[/b][sup]n[/sup][b]=cosnz+ i sinnz[/b]を証明した。[br]これを利用することで、[/size][/size][color=#0000ff][b]オイラー[Euler][/b][/color][size=150][size=100]は各種の級数展開を見つけた。[br]左辺を２項定理展開した実部cosnz=(cosz)[sup]n[/sup]-nC2(cosz)[sup]n-2[/sup](sinz)[sup]2[/sup]+nC4(cosz)[sup]n-4[/sup](sinz)[sup]4[/sup]-......[br]ｘ=nzを一定にしたまま、nを∞にし、ｚを無限小にする。[br]cosz≒1, sinz≒z, n(n-1)≒n[sup]2[/sup],n(n-1)(n-2)(n-3)≒n[sup]4[/sup], だから、[br]cosnz=1- n[sup]2[/sup]/2! １・z[sup]2[/sup]+n[sup]4[/sup]/4! 1 ・z[sup]4[/sup]-.....[br]cosx = 1 - x[sup]2[/sup]/2! + x[sup]4[/sup]/4!- .....となる。[br][/size][/size][size=50][size=150]いわゆる[color=#0000ff][b][size=100]テーラー展開,[/size]マクローリン展開[/b][/color]を使うと、[br]cosx=1-x[sup]2[/sup]/2!+x[sup]4[/sup]/4!-x[sup]6[/sup]/6!+.......[br][/size][size=150]x→0のとき、[br]|(1-cosx)/x[sup]2[/sup]-1/2| <= |(1-(1-x[sup]2[/sup]/2+x[sup]4[/sup]/24))/x[sup]2[/sup]-1/2|=|x[sup]2[/sup]/24|<|→0[br][/size][size=100][color=#0000ff]（理由2）[/color][br][/size][/size][size=100]x→0のとき、[br](1-cosx)/x[sup]2[/sup]＝(1-cosx)(1+cosx)/(1+cosx)x[sup]2[br][/sup]＝(sinx/x)[sup]2[/sup]・1/(1+cosx)→1[sup]2[/sup]・1/(1+1)=1/2[br][color=#0000ff]（理由3）[/color][br][/size][/size][color=#0000ff][b][size=150]ロピタルの定理[l'Hopital's theorem]で、[br][/size][/b][/color][size=150][size=100]商の微分ではないので注意。分母と分子をそれぞれ同じ回数微分しても、極限値は同じ。[br]lim ((1-cosx)/x[sup]2[/sup][/size][/size][size=150])=lim(sinx/2x)=1/2 lim(sinx/x)→１/2・1=1/2[br][br][b]＜tanx/x→1＞[br][/b][color=#0000ff][b]x→0のとき、tanx/x→1[br][/b][/color][/size][color=#0000ff]（理由）[br][/color]x→0のとき、[br]tanx/x=(sinx/x)・1/cosx→1・1/1=1。[br][br]

[size=150][b]＜極限値の演算＞[br][/b][color=#0000ff][b]和・差・定数倍・積・商の極限値[/b][/color]は、極限値の和・差・定数倍・積・商で求められる。[br]ただし、商の場合は分母の極限値は０でない。[br][b]＜極限値がe＞[br][/b][/size]自然対数e＝2.718281828....は２つの関数の極限値として有名だ。[br][color=#0000ff][b]ｘ→∞[/b][/color]のとき、[b][size=150][color=#0000ff]（１＋１/x)[sup]x[/sup]→e[/color][/size][/b]。[br]ｈ＝１/xとおくと、ｘ＝１/h。[br]ｘ→∞のとき、[color=#0000ff][b]ｈ→０[/b][/color]となり、そのとき、[color=#0000ff][b][size=150]（１＋h)[sup]1/h[/sup]→e[br][br][/size][/b][/color]eを底とする指数関数はｙ＝e[sup]x[/sup]。e[sup]0[/sup]=1から(0,1)を通り、定義域ｘは全実数で値域ｙ＞０[br]その逆関数は、eを底とする対数関数でy=log[sub]e[/sub](x)。[br]（1,0）を通り、定義域はｘ＞０（真数条件）、値域は全実数。[br]eを省略したlogxと書いたり、lnxとかく。[br][b][size=150]＜eと極限＞[br][/size][color=#0000ff][size=150]ｘ→０のとき、[br]ln(１＋ｘ）/ｘ→１[br](e[sup]x[/sup]-1)/x→１[br][/size][/color][/b][color=#0000ff]（理由）[br][/color]ｈ→０のとき、[br]ln(1+h)/h=1/h log[sub]e[/sub](1+h)=log[sub]e[/sub](1+h)[sup]1/h[/sup]=log[sub]e[/sub]e→１。だから、ln(１＋ｘ）/x→1。[br]また、逆数も→１となるから、h/ln(１＋h）→1。[br]ｘ＝ln(1+h)とおくと、x=log[sub]e[/sub](1+h) だから、1+h=e[sup]x[br][/sup]ｘ→０のとき、h/ln(１＋h）＝（e[sup]x[/sup]-1)/x→1。[br][br][size=150][b]＜極限値のリユース＞[br][/b][b][color=#0000ff]有名な極限値を再利用できる形に式を変形したり、変数を変形してみよう。[br][/color]・x→０のとき、[br] sinx/x→１、[br] (1-cosx)/x[sup]2[/sup][size=150]→１/２,[br][/size] tanx/x[/b][size=150][b]→１、[br][/b][b][b] ln(１＋ｘ）/ｘ→１、[br] (e[sup]x[/sup]-1)/x→１[br][b][size=150]（１＋x)[sup]1/x[/sup]→e[br][/size][/b][br][/b]・ｘ→∞[/b]のとき、[br][b][size=150]（１＋１/x)[sup]x[/sup]→e[/size][/b]。[br][/size][br][/size][color=#0000ff][b]指数関数の導関数(e[sup]x[/sup])'=e[sup]x[/sup][br][/b][/color]h→0のとき、[br]d(e[sup]x[/sup])/dx=(f(x+h)-f(x))/h=（e[sup]x+h[/sup]-e[sup]x[/sup]）/h=e[sup]x[/sup]・(e[sup]h[/sup]-1)/h→e[sup]x[/sup]･１＝e[sup]x[br][/sup][color=#0000ff][b]対数関数の導関数(logx)'=1/x（ｘ＞０）[/b][br][/color]h→0のとき、[br]d(log[sub]e[/sub]x)/dx=(f(x+h)-f(x))/h=（log[sub]e[/sub](x+h)-log[sub]e[/sub]x）/h=1/h･log[sub]e[/sub](x+h)/x＝1/h･log[sub]e[/sub](1+h/x)[br]=1/x･x/h･log[sub]e[/sub](1+h/x)=1/x･log[sub]e[/sub](1+h/x)[sup]x/h[/sup]→1/x･1=1/x。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「ｘ→∞のとき、[math]\frac{x}{e^x}[/math][sup][/sup]→０」の理由は？[br] x<2[sup]x[/sup]から、x/e[sup]x[/sup]＜２[sup]x[/sup]/e[sup]x[/sup]=(２/e)x→０だから、x/e[sup]x[/sup]→０[color=#0000ff][br]（例）[/color][br]「ｘ→∞のとき、[math]\frac{logx}{x}[/math]→０」の理由は？[br] h=e[sup]x[/sup]とおくと、ｘ=loghとなる。x/e[sup]x[/sup]→０からlogh/ｈ→0。[br][color=#0000ff]（例)[/color][br]「ｘ→1のとき、[math]\frac{x−1}{\sqrt{x}-1}[/math]の極限値」は？[br] 分母を有理化する。(ｘ−１）(√x+1)/(√x-1)(√x+1)=(√x+1)→１＋１＝２[br][color=#0000ff]（例)[/color][br]「ｘ→6のとき、p(x)=[math]\frac{x^2-5x-6}{sin(x-6)}[/math]の極限値」は？[br] h=x-6とおくと、ｘ[sup]2[/sup]-5x-6=(x+1)(x-6)=(h+6)hだから、h→0のとき、 p(x)=(h+6)・[math]\frac{h}{sinh}[/math]→7・１＝7[br][color=#0000ff]（例)[/color][br]「ｘ→∞のとき、p(x)=[math]x(log(x+2)-logx)[/math]の極限値」は？[br] p(x)=x(log(１+2/x)=2(x/2)(log(１+1/(x/2))=[math]2log(1+\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)})(\frac{x}{2})[/math][sup][/sup]→2・log[sub]e[/sub]e＝２[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「初項[math]a_n=\sqrt{2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-cos\frac{\pi}{n}\right)+\frac{1}{n^2}}[/math] 公比[math]r=\left(1+\frac{1}{n}\right)[/math] の等比数列の和s[sub]n[/sub]のn→∞ときの極限値」は？[br]s[sub]n[/sub][math]=a_n\frac{r^n-1}{r-1}=a_n\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1}{\frac{1}{n}}=n\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\}a_n=n\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\}\sqrt{2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-cos\frac{\pi}{n}\right)+\frac{1}{n^2}}[/math] [br][br][math]=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\}\sqrt{\frac{2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-cos\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{1}{n_2}}+1}[/math][br][br]・n→∞なら、[br]　[math]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right)\longrightarrow\left(e-1\right)[/math][br]　h=1/nとおくと、h→0で、1+coshπ→2、[br]・x→0なら、[math]\frac{sinx}{x}\longrightarrow1[/math] だから、[br][br][math]\frac{\left(1-cos\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{1}{n_2}}=\frac{\left(1-cosh\pi\right)}{h^2}=\frac{\left(1-cosh\pi\right)}{h^2}\frac{\left(1+cosh\pi\right)}{\left(1+cosh\pi\right)}=\frac{sin^2h\pi}{h^2\left(1+cosh\pi\right)}=\frac{sin^2h\pi}{\left(h\pi\right)^2}\frac{\pi2}{1+cosh\pi}\longrightarrow1\cdot\frac{\pi^2}{2}[/math][br][br]まとめると、s[sub]n[/sub]→(e-1)[math]\sqrt{2\left(1\right)\cdot\frac{\pi^2}{2}+1}[/math]=[math]\left(e-1\right)\sqrt{\pi^2+1}[/math][br]が極限値だね。

関数ｆ(ｘ）がx=aより小さい方からaに近づくときの極限値αを[color=#0000ff][b]左極限値（LimitLeft)[/b][/color]といい、[br]ｘ→aー0のときｆ(ｘ）→α。α＝ｆ(a-0)[br]関数ｆ(ｘ）がx=aより大きい方からaに近づくときの極限値βを[b][color=#0000ff]右極限値（LimitRight)[/color][/b]といい、[br]ｘ→a＋0のときｆ(ｘ）→β。β＝ｆ(a+0)[br]ｆ(a-0)=f(a+0)のとき、極限値が存在するという。[br]x→aのときf(x)→α＝β。[br][br][b][size=150]＜連続性＞[/size][/b][br]関数ｙ＝ｆ（ｘ）がｘ＝aで連続であることは、[br]ｘ＝aが定義域に入っているので、値f(a）が決まる。[br]ｙ＝ｆ（ｘ）はｘ→aのとき極限値αを持つ。[br]α＝ｆ（a)である。[br]関数ｙ＝ｆ（ｘ）がｘの定義域が開区間（a,ｂ）のすべての点ｘで連続ならば、[br]開区間(a,b)で関数は[color=#0000ff][b]連続[continuous][/b][/color]だ。[br][br][br]