U ovom je apletu prikazan graf funkcije [math]f(x)[/math]. Možeš pomicati plavu točku na osi x i mijenjati [math]\delta[/math], "radijus" intervala oko plave točke. Točka ima x koordinatu [math]c[/math] te možeš vidjeti vrijednost [math]c[/math] i [math]f(c)[/math]. Možeš odabrati neku od funkcija iz padajućeg izbornika ili unijeti funkciju u tekstualno polje.
[color=#c51414]Kažemo da [math]\lim\limits_{x \to c} f(x)[/math] postoji ako su sve vrijednosti od [math]f(x)[/math] "jako blizu" nekom broju, kad god je [math]x[/math] "jako blizu" broju [math]c[/math].[/color] [color=#0a971e]Istraži:[/color] [list=1] [*]Mijenjaj položaj plave točke na x osi. Postoji li poveznica između crvenog intervala na x osi i zelenog/ih intervala na y osi? [*]Što radi klizač [math]\delta[/math]? Primijeti kako [math]\delta[/math] nikad nije [math]0[/math]. Možeš fino podešavati vrijednost klizača [math]\delta[/math] klikom na klizač i s kursorima lijevo/desno na tipkovnici. [*]Postaje li uvijek zeleni interval manji kako se [math]\delta[/math] približava 0? Postaje li ikad veći? Smanjuje li se ikad zeleni interval u točku? [*]Istraži razne funkcije iz padajućeg izbornika kako bi odgovorio na prethodno pitanje. [*]Primjer 5 pokazuje funkciju koja nije definirana za [math]x = 1[/math]. Premda funkcija u toj točki nije definirana, možemo procijeniti koliko je [math]\lim\limits_{x \to 1}f(x)[/math]. U ovom nam slučaju [math]\lim\limits_{x \to 1}f(x)[/math] kaže koliko bi [math]f(1)[/math] "trebalo biti". Približite prikaz kako bi procijenio ovaj limes. (Prikaz možeš približiti i udaljiti kotačićem miša.) [*]U primjerima 6 i 7, funkcija nije definirana u [math]x = 2[/math]. Provjeri ovo stavljajući [math]c = 2[/math]. Koja je vrijednost [math]\lim\limits_{x \to 1}f(x)[/math]? [*]Primjer 8 je funkcija koja postaje "beskonačno valovita" u okolini [math]x = 1[/math]. Što se događa ako stavimo [math]c = 1[/math] i smanjimo [math]\delta[/math]* Isprobaj ovo: stavi [math]c = 2[/math] i [math]\delta = 0.001[/math]. Što će se dogoditi ako [math]c[/math] polako pomičeš prema [math]1[/math]? Pokušaj pogoditi prije nego isprobaš. [/list] [color=#0a971e]Projektne ideje[/color] Neka je [math]f(x)[/math] funkcija te definirajmo [math]g(x) = \lim\limits_{t \to x}f(t)[/math]. Uoči razliku između [math]t[/math] i [math]x[/math]! Pozorno promotri definiciju funkcije [math]g(x)[/math] i razmisli o ovome. [list=1] [*]Što je [math]g(c)[/math] kad je [math]f[/math] neprekidna u [math]x = c[/math]? [*]Što je [math]g(c)[/math] kad [math]f[/math] ima skakajući prekid u [math]x = c[/math]? Ovisi li to o tome da li je [math]f(c)[/math] definirano ili nije? [*]Što je [math]g(c)[/math] kad [math]f[/math] ima beskonačno prekid u [math]x = c[/math]? [*]Daj primjer kad je domena od [math]g(x)[/math] šira od domene [math]f(x)[/math]? [*]Daj primjer kad je domena od [math]g(x)[/math] uža od domene [math]f(x)[/math]? [*]Daj primjer kad [math]g(x)[/math] i [math]f(x)[/math] imaju jednake domene. [*]Je li [math]g(x)[/math] uvijek neprekidna funkcija? [*]Je li moguće da [math]g(c)[/math] i [math]f(c)[/math] postoje, ali nisu jednaki? [/list]