Dva vektory [i]a, b[/i] jsou lineárně závislé, pokud jsou rovnoběžné (mají tentýž směr). Pro jejich souřadnice musíme nalézt číslo [i]k[/i] takové, že [i]a = k b[/i].[br]V rovině neexistují tři vzájemně nezávislé vektory. Vždy mezi nimi najdete jeden, který je možné vyjádřit jako lineární kombinací zbývajících dvou vektorů. Na appletu níže je vektor [i]u[/i] vyjádřen jako lineární kombinace vektorů [i]a[/i] a [i]b[/i], tj. [i]u = k.a + l.b[/i]. Koeficienty [i]k, l[/i] lineární kombinace jsou určeny geometricky, pomocí rovnoběžníka s úhlopříčkou [i]u[/i].

Nechť [i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] jsou vektory z protoru [i]V[/i], [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i] jsou reálná čísla. Vektor [i]v[/i][br][br][center]v = [i]a[sub]1[/sub].v[sub]1[/sub]+ [i]a[sub]2[/sub].[/i]v[sub]2[/sub]+ ...[i]+a[sub]n[/sub].[/i] v[sub]n[/sub][/i] [/center]se nazývá [color=#073763][b]l[url=https://www.matweb.cz/linearni-kombinace-vektoru/]ineární kombinace vektorů[/url] [/b][/color][i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] s koeficienty [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i]. Pokud jsou všechny koeficienty [i]a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub],..., a[sub]n[/sub][/i] rovny nule, hovoříme o triviální lineární kombinaci.[br][br]Řekneme, že vektory [i]v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], ..., v[sub]n[/sub][/i] jsou [color=#073763][b]lineárně nezávislé[/b][/color], jestliže lze nulový vektor vyjádřit [b]pouze[/b] jako jejich triviální lineární kombinaci.[br][br][center][i]o[/i] = [i]0.v[sub]1[/sub] + [i]0.[/i]v[sub]2[/sub][/i][i][sub][/sub]+ ...[/i][i][i] + 0.[/i] v[sub]n[/sub][/i] .[/center][br]Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.

Rozhodněte, zda jsou vektory [i]u[/i] = (1, 0, 0), [i]v[/i] = (1, 1, 1) lineárně závislé.[br]Pro volitelné reálné koeficienty [i]k, l[/i] sestrojme vektor [i]w = k.u+l.v[/i].[br]Rozhodněte, zda jsou vektory [i]u, v, w[/i] lineárně závislé.

Množina vektorů v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub],..., v[sub]k[/sub] [color=#073763][b]generuje[/b][/color] vektorový prostor V, jestliže [b]každý[/b] vektor [i]u∈ V[/i] lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci[center] [i]u = a[sub]1[/sub].v[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]. v[sub]2[/sub]+...++a[sub]2[/sub]. v[sub]k[/sub][/i] [/center]Každou množinu lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru [i]V[/i] se nazáváme [color=#073763][b]bází[/b][/color] [i]V[/i]. Počet prvků báze je [color=#0B5394][b]dimenze[/b][/color] V.