[b]Matematika Kelas XI (Semester Ganjil)[/b]

Pada pertemuan kedua kita kemarin, kita sudah belajar mengenai jenis induksi matematika deret. Nah, kali ini kita akan mempelajari induksi matematika PEmbagian.

Jenis induksi matematika pembagian dapat kita jumpai di berbagai soal yang menggunakan kalimat sebagai berikut :[br][list][*]a habis dibagi b[/*][*]b faktor dari a[/*][*]b membagi a[/*][*]a kelipatan b[/*][/list]Keempat ciri tersebut menunjukkan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.[br]Hal yang perlu diingat adalah, jika bilangan a habis dibagi dengan b maka a = b.m dengan m adalah bilangan bulat.

[b]Yuk, simak soal berikut![/b]

Soal 1[br]Buktikan n[sup]3[/sup] + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli[br]Jawab :[br][br]Langkah Pertama:[br]Akan ditunjukkan n=(1) benar[br]1[sup]3[/sup] + 2.1 = 3 = 3.1[br]Jadi, n=(1) benar[br][br]Langkah Kedua: [br]Asumsikan n=(k) benar, yaitu[br]k[sup]3[/sup] + 2k = 3m,    k ∈ N[br]Langkah Ketiga:[br]Akan ditunjukkan n=(k + 1) juga benar, yaitu[br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ Z[br][br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = (k[sup]3[/sup] + 3k[sup]2[/sup] + 3k + 1) + (2k + 2)[br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = (k[sup]3[/sup] + 2k) + (3k[sup]2[/sup] + 3k + 3)[br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = 3m + 3(k[sup]2[/sup] + k + 1)[br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = 3(m + k[sup]2[/sup] + k + 1)[br]Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k[sup]2[/sup] + k + 1) adalah bilangan bulat.[br]Misalkan p = (m + k[sup]2[/sup] + k + 1), maka[br](k + 1)[sup]3[/sup] + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ Z[br]Jadi, n=(k + 1) benar

[size=100][size=150]Soal 2[br]Buktikan bahwa [img width=59,height=16]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7aa18deb1ffe2075f544667cec764361_l3.svg[/img] habis dibagi [img width=11,height=15]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4689df21f6b27978862db1dad580e324_l3.svg[/img] untuk semua bilangan positif [img width=13,height=10]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-505b3bfb4cc53eb8577f70d45e51fa5a_l3.svg[/img]![br]Jawab:[br]1. Langkah dasar:[br][img width=174,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22c78796f26c7ff7d6b5482812f07dc6_l3.svg[/img][br]Karena 4 habis dibagi 4 maka [img width=85,height=23]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-01097f7c540bc6cc8a400b59883a4994_l3.svg[/img] benar, sehingga berlaku [img width=46,height=23]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c26a727681a5f19e103c2e2b331a41dc_l3.svg[/img] benar.[br]2. Langkah induksi:[br]Jika [img width=44,height=23]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-216e1ec92e7cb447a7c91520366633d7_l3.svg[/img] benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk [img width=83,height=23]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5086dabe943c01e7ac5d4b45e8509ff_l3.svg[/img] dengan [img width=54,height=18]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ca273284a60956bbbdf8c7e793d934c_l3.svg[/img].[br][img width=135,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-501c03d50a790cedf2afebf85d691781_l3.svg[/img] benar habis dibagi 4[br]Sehingga:[br][img width=195,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-625ef8cf708283c55ca3f5e4450a1518_l3.svg[/img][br][img width=211,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d2d098f50c167626fc0e4470ef989f3_l3.svg[/img][br][img width=266,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ed0dc5d35143cc164c15616d392c638e_l3.svg[/img][br][img width=293,height=25]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60b655048dfb7ef05ef80b4d95400446_l3.svg[/img][br]Karena [img width=58,height=19]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54259a536763a1c07b41ef905d14c615_l3.svg[/img] dan [img width=57,height=19]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f9a033a8108457130a8b656207b0dde5_l3.svg[/img] habis dibagi 4, maka [img width=79,height=19]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88e9f767c5c7983aba0c11b2f45c895a_l3.svg[/img] habis dibagi 4. Sehingga pernyataan [img width=59,height=16]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7aa18deb1ffe2075f544667cec764361_l3.svg[/img] bernilai benar untuk semua bilangan positif [img width=13,height=10]https://www.edura.id/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-505b3bfb4cc53eb8577f70d45e51fa5a_l3.svg[/img].[/size][/size]