[right][size=50][size=85][/size]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks[color=#980000][i][b] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/i][/color] (Febr 2019)[/size][br][/right][center]"[color=#980000][b]noli turbare circulos meos[/b][/color]"[/center][br][size=85]("[color=#980000][i]störe meine Kreise nicht[/i][/color]") soll [b]ARCHIMEDES[/b] der Legende nach gesagt haben. Auf seinem Grab habe er sich eine Darstellung von [i][b]Kugel[/b][/i] und [i][b]Zylinder[/b][/i] gewünscht ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedes]wikipedia[/url]).[br]Mit dem nach ihm benannten Oval hat sich [b]RENÉ DESCARTES[/b] im Zusammenhang mit Problemen der Optik beschäftigt.[br][i][b]Kreise[/b][/i] - nicht Geraden - dienten ihm als berührende Elemente bei der Untersuchung von Kurven. In der Differentialrechnung haben sich jedoch die [i][b]Tangenten[/b][/i] als Berührelemente durchgesetzt ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes]wikipedia[/url]).[br]Was hat dies mit der angezeigten Kurve zu tun?[br][br]Das [color=#274E13][i][b]Cartesische Oval [/b][/i][/color]ist eine bizirkulare Quartik, welche als Schnitt der [i][b]Kugel[/b][/i] beispielsweise mit einem [i][b]elliptischen Zylinder[/b][/i] entsteht - in die Ebene projiziert durch [i][b]stereographische Projektion[/b][/i]. Die Tangentialebenen des Zylinders schneiden die Kugel in Kreisen, welche die Schnittkurve doppelt berühren.[br]Die [color=#274E13][i][b]Ovale[/b][/i][/color] können auf verschiedene Arten als Schnittkurve der Kreise zweier Kreisbüschel konstruiert werden.[br]Die Schnittkurve ist dabei [i][b]Winkelhalbierende [/b][/i]der sich schneidenden Kreise.[br]Man kann sie auch über die [i][b]Reflexion von Kreiswellen[/b][/i] beschreiben: die Kreise des einen Kreisbüschels werden an der Kurve reflektiert in die Kreise des anderen Kreisbüschels. Dies soll obiges Applet veranschaulichen.[br]Man vergleiche auch: die Seite zuvor ([url=https://www.geogebra.org/material/show/id/xKB2jzD6]Konfokale Cartesische Ovale[/url]), ferner: [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV#material/t22ZNYaE]Cartesisches Oval mit 6-Eck[/url], und das [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url].[br][br][color=#980000][u][i][b]Zur Erklärung:[/b][/i][/u][/color][br]Das [color=#274E13][i][b]Oval[/b][/i][/color] besitzt 4 verschiedene [i][b]konzyklische[/b][/i] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], hier liegt einer in [math]\infty[/math] und zusammen mit den 3 anderen auf der[br] [math]x[/math]-Achse. Neben der [math]x[/math][color=#ffff00][i][b]-Achse[/b][/i][/color] gibt es 3 weitere [color=#ffff00][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], einer ist imaginär.[br]Zu jeder [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] treten die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] paarweise auf und erzeugen 2 [i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i] (das sind die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch die beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]). Wir nennen diese Kreise [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]. Orthogonal dazu sind die [i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i]. Wir betrachten sie als [color=#ff0000][i][b]Kreiswellen[/b][/i][/color]. Die Kreisbüschel, welche den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]\infty[/math] enthalten, bestehen aus den [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] durch den anderen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und die dazu [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color]. [br]Auf der [color=#274E13][i][b]Quartik[/b][/i][/color] schneiden sich je ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] aus den beiden Kreisbüschel-Paaren. Die [color=#274E13][i][b]Quartik [/b][/i][/color]ist [color=#274E13][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser sich schneidenden [i][b]Kreise[/b][/i]. [br]Die beim Applet-Start angezeigten Wellen bestehen aus den [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreisen[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]F[sub]0[/sub][/b][/color] einerseits und den [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisen[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]F[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color]. Der zugehörige Symmetriekreis ist imaginär, die zugehörige Spiegelung ist das Produkt der 3 Spiegelungen an den 3 reellen Symmetriekreisen. Die beiden in der Alternative 3 angezeigten Scheitelkreise sind invariant unter dieser Spiegelung.[br]Mit Hilfe dieser Scheitelkreisen kann man das Oval "konstruieren" - exemplarisch für die angezeigten Büschelkreise:[br][/size][list][*][size=85]Spiegelt man einen der [color=#ff0000][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] der [color=#ff0000][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um [color=#00ff00][b]F[sub]0[/sub][/b][/color] mit der [math]x[/math]-Achse an einem der [color=#999999][i][b]Scheitelkreise[/b][/i][/color], so erhält man einen [color=#ff0000][i][b]Punkt[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Kreises[/b][/i][/color] des anderen Büschels. Schneiden die beiden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sich reell, so schneiden sie sich auf dem [color=#274E13][i][b]Oval[/b][/i][/color]![br][/size][/*][/list][size=85]Dieses Konstruktionsprinzip beruht auf einer projektiven Beziehung zwischen den Kreisen der beiden Kreisbüschel.[br]Bemerkenswert ist vor allem, dass den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color], als Punktkreise betrachtet, ihre [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] zugeordmet sind![br]Von der Spiegelung an der [math]x[/math]-Achse abgesehen gilt dieser Zusammenhang auch für die anderen Symmetrien.[br][br]Die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] erlauben auch eine andere "Konstruktion" des [color=#274E13][i][b]Ovals[/b][/i][/color]:[br]Zu jeder [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehört eine Schar von [color=#666666][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], die das [/size][size=85][size=85][color=#274E13][i][b]Oval[/b][/i][/color][/size] doppelt-berühren. Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an diesen [color=#666666][i][b]doppelt-berührenden Kreisen[/b][/i][/color], so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] auf dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. [br]Aus den [color=#b6b6b6][i][b]Scheitelkreisen[/b][/i][/color] kann man die [color=#1e84cc][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruieren. Aus diesen wiederum erhält man als Ortskurve das [color=#274E13][i][b]Oval.[/b][/i][/color][br]Es zeigt sich auch, dass die einzelnen bizirkularen Quartiken durch ihre Brennpunkte und die Scheitel auf der Symmetrieachse bestimmt sind! (Siehe die Aktivität [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/QXHDdfAB]Konfokale bizirkulare Quartiken[/url]) [br][br]Erwähnt werden sollte, dass diese Kurven häufig im Zusammenhang mit optischen Linsen erwähnt werden. [color=#9900ff][i][b]googelt[/b][/i][/color] man "[color=#274E13][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]", so werden eher Artikel über [i][b]besondere Kurven[/b][/i] bei Elektromotoren angezeigt als Artikel mit geometrischem Hintergrund. [i][b]Stichwort[/b][/i]: elektromagnetische Wellen, orthogonale Kurvennetze, konfokale Kurvennetze - und schon landet man bei der [color=#ff7700][i][b]komplexen Funktionentheorie[/b][/i][/color]![br][/size]