Consideriamo la seguente situazione: [br][br][b][color=#0000ff]ESEMPIO[/color][/b]: Metto [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math] in banca al tasso dell'[math]\large{\textcolor{#ff7700}{1\%}}[/math] annuale. Dopo 3 anni, dato che i soldi sul mio conto mi sembrano non aumentare mai, aggiungo altri [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math] alle stesse condizioni. Dopo quanti anni avrò [math]\large{20000 €}[/math] sul conto?[br][br]Abbiamo due elementi che crescono con lo stesso andamento, ma [b]ognuno ha un riferimento temporale diverso[/b]. Supponendo infatti che oggi sia il giorno in cui aggiungo i [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math], ho questa situazione:[br][list][*]la prima [i]tranche[/i] di euro che metto in banca erano [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math] [b][color=#ff0000]tre anni fa[/color][/b], poi cresceranno (anche se di poco) e oggi saranno un po' di più[/*][*]la seconda parte di soldi ammonta a [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math] [color=#0000ff][b]oggi[/b][/color]. [/*][/list][b]Dobbiamo quindi innanzitutto decidere il riferimento temporale in cui vogliamo lavorare - cioè quando è l'OGGI in cui [math]\large{t=0}[/math] - e rispetto al quale calcoleremo i tempi che ci interessano[/b] - sono tutti accettabili, ma è importante capire quale si è scelto per poter interpretare correttamente i risultati.[br]Se ad esempio continuiamo ad ipotizzare che oggi sia il giorno in cui aggiungiamo i [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math], il nostro patrimonio totale sarà:[br][br][math]\large{P(t) = \textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^t + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t+3}}[/math][br][br]Come puoi vedere il primo contributo vale [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math] quando [math]\large{t=0}[/math] ed il secondo valeva [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math] quando [math]\large{t=-3}[/math], cioé [b]tre anni fa[/b], quindi tutto torna. Per risolvere il problema dobbiamo porre il patrimonio totale pari a [math]\large{20000 €}[/math]:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^t + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t+3}= 20000}[/math][br][br]Volendo applicare la strategia usate finora, dobbiamo riuscire a sommare i due termini che contengono l'incognita [math]\large{t}[/math], ma questo [b]non è possibile perché le due potenze hanno esponente diverso (la parte letterale non è uguale)[/b]. Dobbiamo [b]mettere in evidenza la parte che hanno in comune[/b] le due potenze, il [math]\large{\textcolor{#007700}{1,01^{t}}}[/math]. Per fare questo dovremmo "spezzare" la seconda potenza in due:[br][list][*]la parte che ha uguale alla prima potenza[/*][*]quello che resta; [/*][/list][br]Possiamo farlo applicando la prima proprietà delle potenze al contrario ([b]quella che ci dice quando si sommano gli esponenti[/b]) e riscrivere la seconda potenza come:[br][br][math]\large{\textcolor{#ff7700}{1,01}^{t+3}= \textcolor{#007700}{1,01^{t}} \cdot \textcolor{#9900ff}{1,01}^{3}}[/math][br][br]Sostituendo questo nella nostra equazione otteniamo:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#007700}{1,01^{t}} + \textcolor{red}{3000}\cdot (\textcolor{#07700}{1,01^{t}} \cdot \textcolor{#9900ff}{1,01}^{3})= 20000 €}[/math][br][br]A questo punto possiamo raccogliere la potenza con l'incognita, che è in comune...[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{1,01^{t}} \cdot (\textcolor{blue}{10000} + \textcolor{red}{3000} \cdot \textcolor{#9900ff}{1,01}^{3})= 20000}[/math][br][br]...ed isolarla:[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{1,01^{t}} = \frac{20000}{\textcolor{blue}{10000} + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01}^{3}}}[/math][br][br]A questo punto applichiamo la definizione di logaritmo ed abbiamo [br][br][math]\large{t = \log_\textcolor{#007700}{1,01}{\left ( \frac{20000}{\textcolor{blue}{10000} + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01}^{3}}\right )}}[/math][br][br]che svolgendo i calcoli (con una calcolatrice!) ci porta a [br][br][math]\large{t = \log_\textcolor{#007700}{1,01}{\left ( \frac{20000} {\textcolor{blue}{10000} + \textcolor{red}{3000}\cdot 1,030301}\right )}= \log_\textcolor{#007700}{1,01}{\left ( \frac{20000}{13090,903}\right )}\approx \log_\textcolor{#007700}{1,01}{1,528}\approx 42,6}[/math][br][br]Quindi avrò [math]\large{20000 €}[/math] sul mio conto dopo circa [math]\large{42,6}[/math] anni, cioè [math]\large{42}[/math] anni e [math]\large{0,6 \cdot 12=7,2}[/math] mesi, ovvero [math]\large{42}[/math] anni, [math]\large{7}[/math] mesi e [math]\large{0,2 \cdot 30=6}[/math] giorni[b][color=#0000ff] dopo che ho aggiunto i [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math] (quello era il mio [math]\large{0}[/math] di riferimento)[/color][/b].[br][br][color=#0000ff][b]NOTA SULLE APPROSSIMAZIONI[/b][/color]: nel calcolo abbiamo riportato dei risultati intermedi per rendere più comprensibili i passaggi, ma è importante saper utilizzare i risultati parziali esatti che ci fornisce la calcolatrice, e non riscriverli approssimati, per limitare le approssimazioni e gli errori. Per fare questo, se la calcolatrice non è molto evoluta, bisogna saper utilizzare bene le parentesi e fare tutto il conto in una volta sola, oppure imparare a mettere i memoria un risultato di solito tramite il tasto [code]MS[/code], che sta per "memory storage", immagazzina in memoria, e ripescarlo quando necessario con [code]MR[/code] ("memory recall").[br][br][size=150][color=#ff0000]UN PUNTO DI VISTA EQUIVALENTE[br][/color][/size]Abbiamo detto che tutti i riferimenti temporali sono ugualmente validi, basta poi interpretare correttamente il risultato ottenuto. Rifacciamo il problema prendendo come riferimento il giorno in cui ho messo in banca i primi [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math]. Il mio patrimonio in questo caso viene espresso da:[br][br][math]\large{P(t) = \textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t-3} + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t}}[/math][br][br]Questa volta il primo contributo varrà [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math] quando [math]\large{t=3}[/math], cioè [b]fra tre anni[/b], ed il secondo vale [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math] oggi, cioè quando [math]\large{t=0}[/math]. [br][br][b]NOTA[/b]: questa funzione esiste per qualsiasi valore di [math]\large{x}[/math], ma è chiaro che [b]ha senso[/b] solo per [math]\large{t\ge 3}[/math], cioè quando [b]entrambi[/b] i contributi sono in gioco, perché prima di allora non ha senso includere il termine relativo ai [math]\large{\textcolor{blue}{10000 €}}[/math]. Lo stesso problema si aveva con l'altro approccio, in cui la funzione aveva senso solo per [math]\large{t\ge 0}[/math].[br][br]Il percorso ora è identico a prima. Poniamo ora il patrimonio totale pari a [math]\large{20000 €}[/math]:[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t-3} + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#ff7700}{1,01}^{t} = 20000}[/math][br][br]Isoliamo la potenza con l'incognita spezzando quella che compare a primo termine...[br][br][math]\large{\textcolor{blue}{10000}\cdot (\textcolor{#007700}{1,01^t}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01^{-3}}) + \textcolor{red}{3000}\cdot \textcolor{#007700}{1,01^t} = 20000}[/math][br][br]...la raccogliamo...[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{1,01^t} \cdot (\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01^{-3}} + \textcolor{red}{3000}) = 20000}[/math][br][br]...e la isoliamo[br][br][math]\large{\textcolor{#007700}{1,01^t} = \frac{20000}{\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01^{-3}} + \textcolor{red}{3000}}}[/math][br][br]Applicando la definizione di logaritmo otteniamo [br][br][math]\large{t = \log_\textcolor{#007700}{1,01} {\left ( \frac{20000}{\textcolor{blue}{10000}\cdot \textcolor{#9900ff}{1,01^{-3}} + \textcolor{red}{3000}} \right) }}[/math][br][br]Svolgiamo infine i conti ed otteniamo[br][br][math]\large{t \approx \log_\textcolor{#007700}{1,01} {\left ( \frac{20000}{\textcolor{blue}{10000}\cdot 0,97 + \textcolor{red}{3000}} \right) } \approx \log_\textcolor{#007700}{1,01} {\left ( \frac{20000}{9705,9 + \textcolor{red}{3000}} \right) } = \log_\textcolor{#007700}{1,01} {\left ( \frac{20000}{12705,9} \right) } \approx \log_\textcolor{#007700}{1,01}{1,574} \approx 45,6}[/math][br][br]Il risultato è coerente con quanto trovato la prima volta, in fatti devono trascorrere [math]\large{45,6}[/math] anni, cioè [math]\large{45}[/math] anni, [math]\large{7}[/math] mesi e [math]\large{6}[/math] giorni[b][color=#ff0000] dopo che ho messo i primi[/color][/b] [math]\large{\textcolor{red}{3000 €}}[/math][b][color=#ff0000] (quello era lo [math]\large{0}[/math] di riferimento scelto questa volta)[/color][/b], e quindi è corretto che rispetto a quel giorno sia necessario attendere [math]\large{3}[/math] in più.